Cos'è un logaritmo

Il logaritmo è l'operazione inversa dell'esponenziale. Se a^b = c, allora log_a(c) = b. In parole: il logaritmo in base a di c è l'esponente a cui elevare a per ottenere c.

Esempio: 2³ = 8, quindi log₂(8) = 3.

Le tre basi più comuni

1. Logaritmo decimale — log base 10

log(x) o log₁₀(x): usato storicamente per calcoli, acustica (decibel), sismologia (Richter), pH chimica, astronomia (magnitudini).

• log(1) = 0
• log(10) = 1
• log(100) = 2
• log(1000) = 3
• log(0,1) = −1

2. Logaritmo naturale — log base e

ln(x): dove e ≈ 2,71828 è la costante di Eulero (Eulero, 1748). Fondamentale in calcolo differenziale, integrale, probabilità, fisica.

• ln(1) = 0
• ln(e) = 1
• ln(e²) = 2
• ln(10) ≈ 2,3026

3. Logaritmo binario — log base 2

log₂(x): essenziale in informatica (complessità algoritmi, teoria dell'informazione di Shannon).

• log₂(1) = 0
• log₂(2) = 1
• log₂(8) = 3
• log₂(1024) = 10

Le proprietà fondamentali

Valide per qualsiasi base (b > 0, b ≠ 1):

1. Logaritmo del prodotto

log_b(x·y) = log_b(x) + log_b(y)

Trasforma moltiplicazioni in addizioni. Fu questa proprietà a rendere i logaritmi rivoluzionari per i calcoli astronomici e di navigazione (Nepero 1614).

2. Logaritmo del quoziente

log_b(x/y) = log_b(x) − log_b(y)

3. Logaritmo della potenza

log_b(xⁿ) = n · log_b(x)

4. Cambio di base

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

Permette di calcolare un logaritmo in base qualsiasi usando ln o log della calcolatrice scientifica.

5. Identità notevoli

• log_b(1) = 0
• log_b(b) = 1
• log_b(bⁿ) = n
• b^log_b(x) = x

Perché esiste "e"

Il numero e ≈ 2,71828 è la base naturale del logaritmo perché:

d/dx ln(x) = 1/x (derivata più semplice possibile)

Tutte le altre basi hanno derivate più complicate. Il numero e emerge in modo naturale in:

• Interesse composto continuo: lim(1 + 1/n)ⁿ = e (Bernoulli 1683)
• Equazioni differenziali della crescita/decadimento
• Distribuzione normale di Gauss
• Meccanica quantistica

Storia dei logaritmi

• ~1594-1614 — John Napier (Nepero): sviluppa i logaritmi, pubblica Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (1614). Tavole rivoluzionano calcoli astronomici.
• 1620 — Edmund Gunter: introduce regolo calcolatore (slide rule) basato su scale logaritmiche
• 1624 — Henry Briggs: pubblica tavole di logaritmi in base 10 (scoperta di Nepero adattata)
• 1683 — Jacob Bernoulli: scopre e in problema di interesse composto
• 1748 — Leonhard Eulero: introduce il simbolo e, dimostra che è irrazionale, lega a tutta l'analisi
• 1768 — Johann Lambert: dimostra che e è irrazionale
• 1873 — Charles Hermite: dimostra che e è trascendente
• 1970s — Calcolatrici elettroniche: rendono obsoleto il regolo logaritmico

Il regolo calcolatore (slide rule)

Dal 1620 al 1970, ingegneri e scienziati usavano il regolo calcolatore: due scale logaritmiche che scorrono una sull'altra. Sfruttando la proprietà log(xy) = log(x) + log(y), la moltiplicazione diventava una somma fisica di lunghezze.

Precisione: 3-4 cifre. Utilizzato per progettare aerei, ponti, razzi. La missione Apollo 11 sulla Luna (1969) fu calcolata con regoli logaritmici.

Scale logaritmiche naturali

Molti fenomeni naturali seguono crescite esponenziali, quindi si visualizzano meglio su scale logaritmiche:

Terremoti — scala Richter

Magnitudo M = log₁₀(A/A₀) dove A è ampiezza. Un terremoto M6 è 10 volte più forte di M5, e 32 volte più energetico.

Suono — decibel (dB)

dB = 10·log₁₀(P/P₀). Una conversazione è ~60 dB, un concerto rock ~120 dB. Differenza 60 dB = fattore 1.000.000 in intensità!

Acidità — pH

pH = −log₁₀([H⁺]). Soluzione pH 4 è 1.000 volte più acida di pH 7.

Stelle — magnitudini

La scala delle magnitudini stellari è logaritmica. Differenza di 5 magnitudini = 100 volte in luminosità.

Frequenze musicali

Note percepiamo logaritmicamente: raddoppiare frequenza = saltare un'ottava (12 semitoni). La scala temperata divide ogni ottava in 12 parti uguali logaritmicamente.

Finanza — log-returns

In finanza quantitativa si preferiscono i log-returns r = ln(P_t/P_t-1) perché additivi nel tempo e simmetrici (no asimmetria tra rialzo/ribasso).

Complessità algoritmica

I logaritmi descrivono la velocità di algoritmi efficienti:

• O(log n): ricerca binaria (dimezzare lo spazio di ricerca ad ogni passo)
• O(n log n): ordinamenti efficienti (merge sort, quick sort medio)
• O(log log n): alcune strutture dati avanzate (Van Emde Boas)

Un algoritmo O(log n) su 1 miliardo di elementi richiede solo ~30 operazioni. Esponenziale più veloce della legge di Moore: miglioramenti algoritmici vincono sull'hardware a lungo termine.

Esempi pratici

Esempio 1 — Cifre di un numero

Quante cifre ha 2¹⁰⁰⁰? log₁₀(2¹⁰⁰⁰) = 1000 · log₁₀(2) = 1000 × 0,30103 = 301,03. Quindi 2¹⁰⁰⁰ ha 302 cifre.

Esempio 2 — Tempo di dimezzamento

Sostanza decade al 5% all'anno. Quanto impiega a ridursi del 50%? t = ln(0,5)/ln(0,95) = −0,693/−0,0513 ≈ 13,5 anni.

Esempio 3 — Interesse composto

€10.000 al 6% annuo, composta in quanti anni per raddoppiare? t = ln(2)/ln(1,06) = 0,693/0,0583 ≈ 11,9 anni. Confermando la "regola del 72": 72/6 = 12.

Esempio 4 — Earthquake magnitude

Terremoto di Giappone 2011 M9,1. Quanto più energetico di un M5,0 (tipico)? 10^9,1−5 × 32^(9,1−5)/1 ≈ 31.623 in ampiezza, ~5,6 milioni in energia.

Esempio 5 — Informazione Shannon

Quanti bit servono per rappresentare 1000 stati equiprobabili? log₂(1000) ≈ 9,97. Servono 10 bit (2^10 = 1024 ≥ 1000).

Logaritmi nelle equazioni

Un'equazione come 3^x = 50 si risolve con logaritmi:

x · log(3) = log(50) → x = log(50)/log(3) ≈ 3,561

Questa tecnica è base di crescita popolazioni, farmacocinetica, decadimento radioattivo, finanza composta.

Integrale del logaritmo

∫ ln(x) dx = x·ln(x) − x + C

∫ (1/x) dx = ln|x| + C (fondamentale!)

La funzione 1/x non ha antiderivata elementare eccetto il logaritmo. Questa è la vera ragione matematica dell'importanza di ln.

Logaritmo complesso

Esteso ai numeri complessi tramite formula di Eulero:

e^iθ = cos θ + i·sin θ

Conseguenza sorprendente:

ln(−1) = iπ

E la celebre identità di Eulero: e^iπ + 1 = 0. Considerata la formula più bella della matematica (Feynman, Russell).

Antilogaritmo

L'antilogaritmo è l'operazione inversa: se log_b(x) = y, allora antilog = b^y = x.

Usato per ricostruire il numero originale a partire dal suo logaritmo. In pratica, è semplicemente la funzione esponenziale.

Funzioni Excel / Sheets / Python

Excel / Google Sheets

• =LOG(x): log₁₀(x) in Excel, log naturale in Sheets (attenzione!)
• =LOG10(x): sempre log base 10 (entrambi)
• =LN(x): logaritmo naturale
• =LOG(x; base): log in base qualsiasi
• =EXP(x): e^x
• =10^x o =POTENZA(10; x): antilog base 10

Python (math, numpy)

import math
math.log(100)          # 4.605 (ln)
math.log10(100)        # 2.0
math.log2(8)           # 3.0
math.log(100, 10)      # 2.0 (log base 10)
math.exp(1)            # 2.718... (e)

import numpy as np
np.log(np.array([1, 10, 100]))  # array([0., 2.30, 4.61])

Errori comuni

• log(0): non definito, tende a −∞
• log(negativo): non definito nei reali
• Confondere "log" tra lingue: in matematica pura "log" spesso = ln (base e); in ingegneria e scuola = log₁₀; in informatica = log₂
• log(x+y) ≠ log(x) + log(y): errore frequente! Vale solo per moltiplicazioni
• Dimenticare proprietà: log(x²) = 2·log(x), non log(x)²

FAQ

Perché i logaritmi sono utili?

Trasformano crescite esponenziali in scale lineari visualizzabili, moltiplicazioni in somme, potenze in moltiplicazioni. Essenziali ogni volta che variabili coprono molti ordini di grandezza.

log o ln: quale usare?

Dipende dal contesto. ln in matematica/fisica teoriche (derivate semplici). log₁₀ in ingegneria e scienze applicate. log₂ in informatica.

Come leggere grafico log-log?

Entrambi gli assi in scala logaritmica. Una retta in log-log rappresenta una legge di potenza y = ax^k.

Logaritmo di frazione?

log(x/y) = log(x) − log(y). Se x < y il risultato è negativo.

Perché e è chiamato "numero di Nepero"?

In realtà Nepero non lo scoprì: usò una base vicina ma non era consapevole della costante. Eulero nel 1748 la chiamò e (forse per "exponential" o per la sua iniziale).

Conclusione

I logaritmi sono tra le invenzioni matematiche più pratiche della storia: hanno accelerato di un fattore 10-100 i calcoli astronomici del XVII secolo e oggi sono il linguaggio naturale per descrivere fenomeni su molte scale. Le formule log(xy) = log(x) + log(y) e il cambio di base sono evergreen: nei 400 anni dalla pubblicazione di Nepero (1614) non sono mai cambiate, e non cambieranno mai.

Aggiornato a luglio 2026