La funzione Gamma

La funzione Gamma, introdotta da Leonhard Euler nel 1729 in corrispondenza con Christian Goldbach, e' una delle funzioni più' importanti della matematica. Estende il fattoriale dai numeri naturali ai numeri complessi: Gamma(n) = (n-1)! per ogni intero positivo n. La definizione integrale di Euler e':

Gamma(z) = integral_0^infinito t^(z-1) * e^(-t) dt, per Re(z) > 0

Esteso all'intero piano complesso tranne gli interi non positivi (0, -1, -2, ...) dove presenta poli semplici. Gamma e' fondamentale in analisi, teoria dei numeri, fisica quantistica, probabilità' e statistica.

L'equazione funzionale

Gamma soddisfa l'equazione funzionale fondamentale:

Gamma(z+1) = z * Gamma(z)

Per integrazione per parti: integral t^z e^(-t) dt = [-t^z e^(-t)] + z * integral t^(z-1) e^(-t) dt. Combinato con Gamma(1) = 1, produce Gamma(n+1) = n! per n intero non negativo. Questa proprietà' caratterizza Gamma in modo unico (Bohr-Mollerup 1922): tra le funzioni f con f(1)=1, f(z+1)=z*f(z) e log f convessa, c'e' solo Gamma.

L'approssimazione di Lanczos

Cornelius Lanczos (1964) fornisce un'approssimazione di altissima precisione:

Gamma(z+1) ~ sqrt(2*pi) * (z + g + 1/2)^(z + 1/2) * e^(-(z+g+1/2)) * A_g(z)

dove A_g(z) = c_0 + Sigma c_k/(z+k) con coefficienti c_k dipendenti da g. Per g=7 e 9 coefficienti si ottengono 15 cifre decimali su tutto il piano complesso. Il calcolatore usa questa formula. E' il metodo standard in librerie come scipy, GSL, Boost.

Formula di Stirling

Per x grande si ha l'approssimazione asintotica di James Stirling (1730):

Gamma(z+

• ~ sqrt(2*pi*z) * (z/e)^z * (1 + 1/(12z) + 1/(288z^
• - 139/(51840*z^
• + ...)

Per z = 10 l'errore e' <0.01%; per z = 100 <0.0001%. Il fattore sqrt(2*pi) deriva storicamente dal prodotto di Wallis. Stirling e' il metodo di scelta per log Gamma dove Lanczos sarebbe numericamente instabile.

Formula di riflessione di Eulero

Eulero scopri' la bella identità':

Gamma(z) * Gamma(1-z) = pi / sin(pi*z)

Per z=1/2: Gamma(1/2)^2 = pi, quindi Gamma(1/2) = sqrt(pi). Per z=1/3: Gamma(1/3) * Gamma(2/3) = 2*pi/sqrt(3). La formula lega Gamma al polo infinito di z intero e permette di calcolare valori per z negativo partendo da z positivo.

Formula di duplicazione di Legendre

Legendre dimostro' la formula di raddoppio:

Gamma(z) * Gamma(z + 1/2) = 2^(1-2z) * sqrt(pi) * Gamma(2z)

Per z=1: 1 * sqrt(pi)/2 = (1/2) * sqrt(pi), coerente. Per z=1/2: sqrt(pi) * Gamma(1) = sqrt(pi), coerente con Gamma(1)=1. Si generalizza a formule di moltiplicazione di Gauss per Gamma(n*z).

Le cinque modalita'

1. Gamma(x) reale: calcolo diretto via Lanczos con riflessione per x<0.5.
2. ln Gamma: logaritmo diretto per x grande, evita overflow.
3. Fattoriale esteso: x! = Gamma(x+1), includendo frazioni.
4. Formula di riflessione: verifica Gamma(x)*Gamma(1-x) = pi/sin(pi*x).
5. Duplicazione di Legendre: verifica identità' con Gamma(x+1/2) e Gamma(2x).

Valori speciali notevoli

• Gamma(1) = 0! = 1
• Gamma(2) = 1! = 1
• Gamma(1/2) = sqrt(pi) ~= 1.7725
• Gamma(3/2) = sqrt(pi)/2 ~= 0.8862
• Gamma(1/4) ~= 3.6256 (irrazionale, congetturato trascendente)
• Gamma(1/3) ~= 2.6789
• Gamma'(1) = -gamma (costante di Eulero-Mascheroni) ~= -0.5772

Applicazioni

• Probabilità': distribuzione Gamma, Beta, chi-quadrato, Student, Fisher.
• Fisica: funzioni speciali in equazioni di Schrodinger, modelli di diffusione.
• Teoria dei numeri: zeta di Riemann zeta(s) = integral via Gamma; equazione funzionale zeta(s) = 2^s * pi^(s-1) * sin(pi*s/2) * Gamma(1-s) * zeta(1-s).
• Combinatoria: coefficienti binomiali frazionari, funzione Beta.
• Analisi complessa: residui in poli, integrali di contorno.
• Fisica delle particelle: ampiezze di scattering (formula di Veneziano, teoria delle stringhe).

Storia della funzione Gamma

La funzione Gamma nacque da una domanda posta a Leonhard Euler nel 1729: esiste una funzione continua che estende il fattoriale ai numeri non interi? Euler trovò la risposta con un prodotto infinito e, poco dopo, con la celebre rappresentazione integrale Γ(x) = ∫₀^∞ t^(x−1)e^(−t)dt. Fu il matematico francese Adrien-Marie Legendre a introdurre la notazione Γ e la convenzione dello sfasamento, per cui Γ(n) = (n−1)! anziché n!, una scelta che ancora oggi genera confusione ma che si è affermata universalmente. Karl Weierstrass ne diede in seguito un'elegante forma come prodotto infinito, legandola alla costante di Eulero-Mascheroni. La funzione Gamma divenne così una delle funzioni speciali più importanti dell'analisi, ponte fra il discreto dei fattoriali e il continuo.

La funzione Gamma nel piano complesso

La vera potenza della funzione Gamma emerge estendendola ai numeri complessi. Tramite la continuazione analitica, Γ(z) è definita su tutto il piano complesso tranne che negli interi non positivi 0, −1, −2, …, dove presenta poli semplici. È una funzione meromorfa che, notevolmente, non ha alcuno zero: il suo reciproco 1/Γ(z) è invece una funzione intera. La funzione Gamma è profondamente legata alla funzione zeta di Riemann attraverso l'equazione funzionale di quest'ultima, in cui Γ compare come fattore essenziale. Questa connessione la rende uno strumento centrale nella teoria analitica dei numeri e nello studio dell'ipotesi di Riemann, oltre che in fisica, dove appare nella regolarizzazione degli integrali e nella teoria delle stringhe.

Aggiornato a luglio 2026