Los primos gemelos

Dos primos p y q son gemelos si q = p + 2 (diferencia minima posible entre primos impares). Primeros ejemplos: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73). La conjetura de los primos gemelos (Polignac 1849) afirma que existen infinitos pares. Abierta desde hace casi dos siglos.

Propiedades

Salvo (3, 5), todos los pares tienen forma (6k-1, 6k+1). La unica tripleta existente es (3, 5, 7): para p > 3, uno de {p, p+2, p+4} divisible por 3.

Constante de Brun

Brun (1919): la suma de reciprocos de primos gemelos converge:

B_2 = (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + ... = 1.902160583104...

A diferencia de Sigma 1/p que diverge. Primer paso hacia comprender la rareza de gemelos.

Hardy-Littlewood (1923)

pi_2(N) ~ 2 C_2 N / log^2(N), con C_2 = 0.6601618... Concordancia empirica excelente (<0.1% de desviacion hasta 10^10).

Zhang y avances

• Zhang 2013: infinitos pares con gap < 70 millones.
• Polymath8 2014: gap <= 246.
• Maynard 2015: gap <= 12 bajo GRH.
• Mayor par conocido: 2996863034895 * 2^1290000 +/- 1 (409.000 cifras, PrimeGrid 2016).

Cinco modalidades

1. Verificacion par.
2. Busqueda cercana.
3. Lista hasta N.
4. Constante de Brun.
5. Hardy-Littlewood.

Primos sexy, cousin, cuadrupletas

• Cousin: (p, p+4). (3, 7), (7, 11), (13, 17).
• Sexy: (p, p+6). (5, 11), (7, 13), (11, 17).
• Tripletas: (p, p+2, p+6), (p, p+4, p+6).
• Cuadrupletas: (p, p+2, p+6, p+8).

Teorema de Chen (1966)

Chen Jingrun demostro un resultado considerado casi la conjetura: existen infinitos primos p tales que p+2 es primo o semiprimo (producto de dos primos). Demostracion con criba ponderada. Es el resultado mas fuerte hacia gemelos; distinguir primo de semiprimo requiere tecnicas aun no desarrolladas.

Aplicaciones

• Teoria analitica de numeros: metodo del circulo de Hardy-Littlewood.
• Criptografia: generacion RSA con primos fuertes seleccionados entre gemelos.
• Computo distribuido: proyectos PrimeGrid, Twin Prime Search.
• Tests de cribas: performance de algoritmos (Eratostenes, Atkin, segmentado).
• Teoria de cribas: tecnicas Selberg, Chen, Brun extendidas.
• Didactica: ejemplo accesible de problema abierto moderno.

De Euclides a Zhang: la larga caza de los primos gemelos

La pregunta de si los primos gemelos son infinitos está entre las más antiguas y tenaces de la matemática. Euclides ya demostró en el siglo III a.C. que los primos son infinitos, pero la cuestión de los gemelos permaneció abierta más de dos milenios. Un avance llegó en 2013, cuando el desconocido matemático Yitang Zhang demostró que existen infinitos pares de primos con distancia menor de 70 millones: la primera vez que se establecía un límite finito. El proyecto colaborativo Polymath, coordinado por Terence Tao, redujo rápidamente ese límite a 246. Reducirlo hasta 2, demostrando la conjetura original, sigue siendo uno de los grandes problemas abiertos.

Actualizado a julio de 2026