Calculadora triángulo: Pitágoras, lados, ángulos, área

Calcula lados, ángulos, área y perímetro de un triángulo con 3 datos. Pitágoras, ley coseno, ley seno, fórmula Herón. Geometría pura evergreen.

Parámetros de cálculo
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¿Qué es un triángulo?

El triángulo es el polígono más simple y fundamental: 3 lados, 3 ángulos, 3 vértices. Único polígono rígido, base de triangulación y trigonometría.

Propiedades fundamentales

  • Suma ángulos internos = 180° (geometría euclidiana)
  • Desigualdad triangular: a+b > c, a+c > b, b+c > a
  • 3 datos independientes determinan un triángulo único

Fórmulas cardinales

1. Teorema de Pitágoras

a² + b² = c² (sólo triángulo rectángulo)

Ternas clásicas: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25.

2. Ley del Coseno

c² = a² + b² − 2ab·cos(C) (cualquier triángulo)

3. Ley del Seno

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R

4. Fórmula de Herón

s = (a+b+c)/2, Área = √[s(s−a)(s−b)(s−c)]

5. Área con base y altura

Área = (base × altura) / 2

6. Área con dos lados y ángulo

Área = (1/2) × a × b × sin(C)

Criterios de congruencia

CriterioDatos
SSS3 lados
SAS2 lados + ángulo entre ellos
ASA2 ángulos + lado entre ellos
AAS2 ángulos + otro lado
SSAAMBIGUO (0, 1 o 2 soluciones)

Clasificación

Por lados

  • Equilátero: 3 lados iguales, 60°
  • Isósceles: 2 lados iguales
  • Escaleno: todos lados diferentes

Por ángulos

  • Acutángulo: todos < 90°
  • Rectángulo: uno = 90°
  • Obtusángulo: uno > 90°

Funciones trigonométricas

FunciónDefinición
seno (sin)opuesto / hipotenusa
coseno (cos)adyacente / hipotenusa
tangente (tan)opuesto / adyacente

Identidad: sin²α + cos²α = 1.

Valores notables

Ángulosincostan
0°010
30°1/2√3/21/√3
45°√2/2√2/21
60°√3/21/2√3
90°10∞

Ejemplos prácticos

Pitágoras

Catetos 6 y 8: hipotenusa = √(36+64) = 10. Área = 24.

Herón

Lados 5, 6, 7: s=9. Área = √216 ≈ 14,70.

Equilátero

Lado 10: perímetro = 30, altura ≈ 8,66, área ≈ 43,30.

Aplicaciones reales

GPS y trilateración

Posicionamiento GPS: intersección esferas distancia de 3-4 satélites.

Geodesia

Triangulación para mapear áreas extensas. Gran Arco Trigonométrico India 1802-1871.

Ingeniería estructural

Puentes, cúpulas geodésicas, cerchas: triángulos rígidos sin juntas móviles.

Gráficos 3D

Modelos 3D = mallas de triángulos. GPUs modernas ejecutan miles de millones operaciones/segundo.

Medicina TAC/MRI

Reconstrucción tomográfica usa triangulación.

Astronomía

Paralaje estelar medido geometría triángulos. Bessel 1838 para 61 Cygni.

Topografía

Medición alturas inaccesibles por ángulos de elevación.

Círculos notables

  • Circunscrito: R = a/(2·sin A)
  • Inscrito: r = Área/s
  • Excírculos (3, uno por lado)

Puntos notables

  • Baricentro (medianas)
  • Incentro (bisectrices)
  • Circuncentro (mediatrices)
  • Ortocentro (alturas)
  • Fermat (si todos ángulos < 120°)

Euler: circuncentro, baricentro, ortocentro alineados (recta de Euler, 1765).

Historia Pitágoras

  • ~2000 a.C. Babilonios: tablilla Plimpton 322
  • ~1800 a.C. Egipcios: cuerda 12 nudos (3-4-5)
  • ~570 a.C. Pitágoras: enunciado formal
  • ~300 a.C. Euclides: demostración Elementos
  • 1827 Lobachevski: geometría no-euclidiana

Geometría no-euclidiana

En esfera: ángulos suman > 180° (Polo Norte + Quito + Nairobi = 270°).

En hiperbólica: < 180°. Base de relatividad general Einstein.

Errores comunes

  • Confundir lados y ángulos
  • Olvidar desigualdad triangular
  • Grados vs radianes
  • SSA puede tener 0, 1, 2 soluciones
  • Pitágoras sólo triángulos rectángulos

Excel / Sheets / Python

  • =SENO(RADIANES(ang))
  • =COS(RADIANES(ang))
  • =TAN(RADIANES(ang))
  • =GRADOS(rad), =RADIANES(grad)
  • =PI()

Python: math.sin(math.radians(30)), math.degrees(math.acos(0.5)).

FAQ

¿Por qué 180°?

5° postulado Euclides. Válido geometría euclidiana plana.

¿Altura edificio sin medir?

Ángulo elevación α desde distancia d: Altura = d × tan(α).

¿Pitágoras para cualquier triángulo?

No, sólo rectángulos. Para otros ley del coseno.

¿GPS cómo funciona?

Trilateración: 4 satélites señales temporizadas, triangulación posición.

Triángulos en la naturaleza

La forma triangular aparece en numerosos fenómenos naturales debido a su estabilidad estructural:

  • Cristales: cuarzo, halita y muchos minerales presentan caras triangulares
  • Alas de insectos: venas triangulares para rigidez con peso mínimo
  • Dunas: pendiente triangular en sección
  • Volcanes: conos triangulares naturales
  • Hojas de trébol: 3 foliolos triangulares
  • Escamas de piñas: espirales de triángulos (serie de Fibonacci)

Triángulo de Pascal y combinatoria

El Triángulo de Pascal (conocido desde Pingala, siglo II a.C.) contiene los coeficientes binomiales C(n,r) dispuestos en filas triangulares. Primera fila=1; cada número = suma de los dos superiores.

         1
        1 1
       1 2 1
      1 3 3 1
     1 4 6 4 1
    1 5 10 10 5 1

Aplicaciones:

  • Expansión binomial (a+b)n
  • Probabilidad (distribución binomial)
  • Combinatoria (nCr)
  • Fractales (Sierpinski)

Triángulo de Sierpiński (fractal)

Fractal matemático: partiendo de triángulo equilátero, se elimina el triángulo central cada iteración. Dimensión fractal: log(3)/log(2) ≈ 1,585.

Aplicaciones: antenas multibanda (radioelectrónica), diseño arquitectónico, arte generativo, compresión de imágenes fractales.

Trigonometría esférica práctica

Para distancias sobre superficie terrestre, la trigonometría esférica sustituye la euclidiana. Fórmula del haversine:

d = 2R × arcsin(√[sin²(Δφ/2) + cos(φ₁)·cos(φ₂)·sin²(Δλ/2)])

donde R = radio Tierra ≈ 6371 km, φ = latitudes, λ = longitudes.

Precisión suficiente para navegación aérea/marítima hasta ~0,5%.

Problemas clásicos de construcción con regla y compás

Los antiguos griegos planteaban problemas como:

  • Trisección del ángulo: dividir ángulo cualquiera en 3 partes iguales. Imposible en general con sólo regla y compás (demostrado Wantzel 1837)
  • Duplicación del cubo: construir lado de cubo con volumen doble. Imposible
  • Cuadratura del círculo: cuadrado con área igual a círculo dado. Imposible (Lindemann 1882, π transcendente)

Estos problemas nutrieron 2000 años de matemáticas antes de ser resueltos (negativamente) en el siglo XIX.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

¿Cómo se resuelve un triángulo?

Resolver un triángulo significa hallar todos los lados y ángulos a partir de algunos datos conocidos. Se necesitan al menos tres elementos, incluido al menos un lado. Los casos principales son LLL (tres lados), LAL (dos lados y el ángulo comprendido), ALA y AAL (dos ángulos y un lado).

¿Qué es el teorema del coseno?

Es la generalización del teorema de Pitágoras a triángulos cualesquiera: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Sirve para hallar el tercer lado conociendo dos lados y el ángulo comprendido (LAL), o los ángulos conociendo los tres lados (LLL). Cuando C = 90° se reduce a Pitágoras.

¿Qué es el teorema de los senos?

Afirma que en todo triángulo la razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto es constante: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Sirve para resolver triángulos cuando se conocen dos ángulos y un lado (ALA, AAL), obteniendo los demás lados.

¿Cómo se calcula el área con la fórmula de Herón?

La fórmula de Herón calcula el área de un triángulo solo a partir de los tres lados: A = √[s(s−a)(s−b)(s−c)], donde s = (a+b+c)/2 es el semiperímetro. Por ejemplo, un triángulo de lados 3, 4, 5 tiene s = 6 y área = √(6·3·2·1) = 6. No hace falta la altura.

¿Qué es la desigualdad triangular?

Es la condición para que tres segmentos formen un triángulo: la suma de dos lados cualesquiera debe superar al tercero (a+b>c, a+c>b, b+c>a). Si no se cumple, los lados no cierran en un triángulo. Es la primera comprobación de validez al partir de tres lados.

¿Cuáles son los tipos de triángulo?

Se clasifican por lados (equilátero: tres lados iguales; isósceles: dos iguales; escaleno: todos distintos) y por ángulos (acutángulo: todos los ángulos bajo 90°; rectángulo: un ángulo de 90°; obtusángulo: un ángulo mayor de 90°). La suma de los ángulos internos es siempre 180°.

¿Cómo se calcula la altura de un triángulo?

Conocida el área, la altura relativa a un lado se obtiene con h = 2·área/base. Como el área es (base × altura)/2, al invertir se obtiene la altura desde cualquier base elegida. Cada triángulo tiene tres alturas distintas, una por cada lado.

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