Calculadora Series de Taylor y Maclaurin

Calcula el desarrollo en series de Taylor y Maclaurin de funciones elementales (sin, cos, exp, ln, arctan, sinh, cosh) con N términos y error de Lagrange.

Parámetros de cálculo
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Valore in cui valutare l'approssimazione. Convergenza: |x| < raggio di convergenza.
Punto attorno al quale sviluppare la serie. Per Maclaurin lasciare 0.
Quanti termini della serie calcolare. Valori tipici 5-20. Massimo 30.
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Series de Taylor y Maclaurin

La serie de Taylor escribe una función infinitamente derivable como polinomio infinito, si es analítica en torno al punto de desarrollo:

f(x) = ∑ f⁽ᵏ⁾(x₀)/k! · (x−x₀)ᵏ

Cuando x₀ = 0 se llama serie de Maclaurin. Formalizadas por Brook Taylor (1715) y popularizadas por Colin Maclaurin (1742), tienen raíces en la escuela de Kerala y en los trabajos de James Gregory.

Desarrollos notables

  • sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − …    R = ∞
  • cos(x) = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …    R = ∞
  • eˣ = ∑ xᵏ/k!    R = ∞
  • ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 − …    R = 1 (−1 < x ≤ 1)
  • sinh, cosh: R = ∞
  • arctan(x) = x − x³/3 + x⁵/5 − …    R = 1; en x = 1 produce π/4 (Leibniz-Madhava)
  • 1/(1−x) = serie geométrica    R = 1
  • √(1+x) = serie binomial α = 1/2    R = 1

Los cuatro modos

  1. Aproximación Maclaurin con N términos y error.
  2. Taylor alrededor de x₀.
  3. Coeficientes aₖ de la serie.
  4. Comparación con valor exacto.

Resto de Lagrange

Al truncar en orden N queda:

RN(x) = f⁽ᴺ⁺¹⁾(ξ)/(N+1)! · (x−x₀)ᴺ⁺¹

para algún ξ ∈ [x₀, x]. Si |f⁽ᴺ⁺¹⁾| ≤ M, |RN| ≤ M·|x−x₀|ᴺ⁺¹/(N+1)!. Por eso las funciones enteras convergen rápido: el factorial vence cualquier potencia.

Aplicaciones

  • Cálculo numérico de funciones especiales.
  • Solución en serie de EDOs (método de Frobenius).
  • Aproximaciones de Padé.
  • Análisis local de extremos.
  • Límites 0/0 sin l'Hôpital.
  • Identidades como eiπ+1 = 0.

Radio de convergencia

R = lim |aₖ/aₖ₊₁| (criterio del cociente). Geométricamente es la distancia al primer polo o singularidad en el plano complejo.

Límites del calculador

N! desborda el doble IEEE 754 cerca de N = 170. El calculador limita N ≤ 30, más que suficiente: a N = 20 el error para sin(x) con |x| ≤ π ya es menor que la precisión máquina.

Historia de las series de Taylor

Las series que hoy llevan el nombre de Brook Taylor, que publicó la fórmula general en 1715, tienen raíces más antiguas. Ya en el siglo XIV los matemáticos de la escuela de Kerala, en la India, habían hallado los desarrollos en serie de seno, coseno y arcotangente. En Europa contribuyeron James Gregory y sobre todo Isaac Newton, que usaba las series infinitas como herramienta de cálculo. El caso particular centrado en cero se llama serie de Maclaurin, por el matemático escocés Colin Maclaurin que lo popularizó. Estas series fueron el puente entre el álgebra y el análisis, permitiendo tratar funciones trascendentes como sumas de potencias y abriendo el camino al cálculo diferencial e integral moderno.

Las series de Taylor en el cálculo numérico moderno

Cada vez que un ordenador calcula un seno, un logaritmo o una exponencial, detrás hay una serie de potencias o un método derivado de ella. Las bibliotecas matemáticas aproximan las funciones con polinomios truncados, a menudo optimizados (polinomios de Chebyshev o minimax) para minimizar el error en un intervalo. El resto de Taylor da la garantía teórica sobre el error cometido al truncar la serie en cierto grado. En el cálculo científico de alto rendimiento, los desarrollos en serie son la base de la solución numérica de ecuaciones diferenciales, la integración y la simulación de sistemas físicos complejos.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

¿Diferencia entre serie de Taylor y de Maclaurin?

La serie de Taylor desarrolla una función alrededor de un punto cualquiera x₀, mientras que la de Maclaurin es su caso particular centrado en el origen, es decir con x₀ = 0. En ambas los coeficientes se obtienen de las derivadas sucesivas: aₖ = f⁽ᵏ⁾(x₀)/k!. La de Maclaurin es la más usada porque las fórmulas resultan más simples, pero la de Taylor general permite aproximar bien la función incluso lejos del origen.

¿Cuándo una función admite serie de Taylor?

Una función debe ser derivable infinitas veces en el punto de desarrollo (de clase C∞) para que la serie esté definida. Pero eso no basta: la serie también debe converger a la función. Las funciones para las que esto ocurre en un entorno se llaman analíticas. Existen funciones C∞ no analíticas, como e^(−1/x²) en cero, cuya serie de Maclaurin es idénticamente nula aunque la función no lo sea.

¿Por qué la serie de ln(1+x) no converge para x > 1?

Porque su radio de convergencia es 1: la serie ∑(−1)ᵏ⁻¹xᵏ/k converge solo para −1 < x ≤ 1. El límite proviene de la singularidad de ln(1+x) en x = −1, donde la función tiende a menos infinito. El radio de convergencia de una serie de potencias es siempre la distancia del centro a la singularidad más cercana, incluso en el plano complejo, y limita el intervalo de validez.

¿Cómo calcular el radio de convergencia?

Se usa el criterio del cociente o de la raíz sobre los coeficientes: R = lim |aₖ/aₖ₊₁| o 1/R = lim |aₖ|^(1/k). Geométricamente, R es la distancia del centro de desarrollo a la singularidad más cercana de la función en el plano complejo. Para seno, coseno y exponencial no hay singularidades y R es infinito; para 1/(1−x) la singularidad en x = 1 da R = 1.

¿Cuántos términos para buena aproximación?

Depende de la función, de la distancia x−x₀ y de la precisión requerida. Cerca del centro bastan pocos términos; al alejarse hacen falta muchos más. El resto de Lagrange estima el error de truncamiento: es proporcional a la derivada siguiente y a (x−x₀)ⁿ⁺¹/(n+1)!. El factorial en el denominador hace que el error caiga muy rápido al añadir términos para funciones como eˣ o sin(x).

¿Soporta funciones compuestas como sin(eˣ)?

No, esta herramienta desarrolla un conjunto predefinido de funciones elementales notables (seno, coseno, exponencial, logaritmo, funciones hiperbólicas, arcotangente, geométrica y raíz), calculando sus coeficientes en forma cerrada. Las funciones compuestas o arbitrarias requerirían derivación simbólica automática, que excede el alcance del calculador. Las compuestas se tratan combinando manualmente los desarrollos conocidos.

¿Hay funciones sin serie de Taylor?

Sí. Las funciones no derivables infinitas veces no admiten la serie; pero incluso algunas C∞ no son analíticas, como e^(−1/x²) prolongada con valor cero en x = 0, cuya serie de Maclaurin es toda nula y no reproduce la función. Además las funciones con singularidades tienen radio de convergencia finito, así que la serie vale solo en un entorno limitado del punto de desarrollo.

¿Quién inventó las series de Taylor?

La fórmula general la publicó Brook Taylor en 1715, pero los desarrollos en serie de funciones trigonométricas ya eran conocidos por los matemáticos de la escuela india de Kerala en el siglo XIV, y en Europa por James Gregory e Isaac Newton. El caso centrado en el origen toma el nombre de Colin Maclaurin. Las series de potencias fueron una herramienta central del análisis desde el siglo XVIII, con Euler y Lagrange.

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