Cómo calcular la radiación de sincrotrón con la fórmula de Schwinger permite estimar la energía crítica, la potencia radiada y el ángulo de apertura de un haz de partículas cargadas relativistas en un campo magnético curvo. La fórmula clave proviene de Julian Schwinger (Phys. Rev. 75:1912, 1949): ω_c = (3/2) γ³ c / ρ, donde γ = E/(mc²) es el factor de Lorentz y ρ el radio de curvatura. La teoría se remonta a Alfred Liénard (1898) y a los trabajos de Iwanenko-Pomeranchuk (1944), pero es Schwinger quien dio la distribución espectral completa mediante funciones de Bessel modificadas. Lo que se calcula aquí en régimen ultrarelativista alimenta hoy fuentes como ALBA en Cerdanyola del Vallès (2010), ESRF Grenoble y SPring-8.

1. La fórmula de Schwinger y la energía crítica

La energía crítica ε_c divide el espectro emitido en dos mitades de igual potencia: ε_c = ℏω_c = (3/2) ℏ c γ³ / ρ. La potencia total radiada por una partícula de carga ze en órbita circular ultrarelativista es P = z² e² c β⁴ γ⁴ / (6π ε₀ ρ²), la fórmula de Liénard en el límite β → 1, que escala como γ⁴. La pérdida de energía por vuelta es ΔE = (4π/3) (z² r_e m c²) γ⁴ / ρ y el ángulo de apertura del cono de emisión tiende a 1/γ radianes — para un electrón a 3 GeV en ALBA esto son apenas 170 microradianes.

2. Fuentes de luz de sincrotrón en el mundo

• ALBA Cerdanyola del Vallès (España, 2010) — 3 GeV, ρ ≈ 7,05 m, ε_c ≈ 7,1 keV. Es la fuente de sincrotrón nacional española, gestionada por CDTI y Generalitat de Catalunya.
• ESRF Grenoble (Francia, 1994) — 6 GeV, ρ ≈ 23,4 m, ε_c ≈ 19,2 keV. Buque insignia europeo de tercera generación.
• APS Argonne (EE. UU., 1996) — 7 GeV, ε_c ≈ 19,5 keV.
• SPring-8 Japón (1997) — 8 GeV, la mayor instalación del mundo.
• ELETTRA Trieste (Italia, 1993) — 2,4 GeV, ε_c ≈ 5,6 keV.
• LHC CERN (2008) — protones a 7 TeV, ε_c ≈ 41 eV.

3. Límites y advertencias

La fórmula de Schwinger es válida solo en régimen ultrarelativista γ ≫ 1. Para partículas no relativistas (γ → 1) se usa la fórmula clásica de Larmor P = (z² e² a²) / (6π ε₀ c³). Para γ entre 1 y 10 ninguna de las dos es exacta y se requiere la forma completa de Liénard-Wiechert. La emisión es incoherente partícula a partícula en anillos estándar pero coherente en láseres de electrones libres (XFEL) como LCLS Stanford y European XFEL Hamburgo. El efecto Sokolov-Ternov polariza el haz de electrones tras minutos u horas en anillos de almacenamiento.

4. Ejemplos numéricos

Ejemplo 1 — ALBA Cerdanyola, electrón a 3 GeV. γ = 3000/0,511 ≈ 5870; con ρ = 7,05 m se obtiene ω_c = (3/2)(5870)³(3×10⁸)/7,05 ≈ 1,06×10¹⁹ rad/s, por tanto ε_c ≈ 7,0 keV. La potencia radiada por electrón es ≈ 0,28 µW; con corriente 250 mA la potencia total ≈ 4,4 kW. Las líneas BL13-XALOC y BL09-MISTRAL usan este haz para cristalografía macromolecular y microscopía de rayos X blandos respectivamente.

Ejemplo 2 — ESRF Grenoble, electrón a 6 GeV. γ ≈ 11743; con ρ = 23,4 m: ε_c ≈ 19,2 keV. Pérdida por vuelta ΔE ≈ 4,9 MeV, restituida por cavidades de RF. Ángulo de apertura 1/γ ≈ 85 µrad permite estudios de cristalografía de proteínas con resolución casi atómica.

Ejemplo 3 — LHC, protón a 7 TeV. γ ≈ 7461; ρ = 2804 m: ε_c ≈ 41 eV. Pérdida por vuelta ΔE ≈ 6,7 keV, absorbida por las pantallas de haz a 5–20 K bajo gestión criogénica.

5. Aplicaciones prácticas

Las fuentes de sincrotrón habilitan:

• cristalografía macromolecular de alta resolución, base del Protein Data Bank (PDB) y de los datos de entrenamiento de AlphaFold
• espectroscopía de absorción de rayos X (XAS, EXAFS, XANES) en catalizadores, baterías de litio y materiales medioambientales — el CIEMAT y el CSIC en España colaboran activamente con ALBA en estas líneas
• imagen por contraste de fase para biomedicina y baterías in-operando
• metrología EUV para litografía de semiconductores por debajo de 5 nm
• arqueometría e historia del arte con líneas dedicadas como MIRAS de ALBA para análisis no invasivo de obras del Museo del Prado y otras pinacotecas españolas

6. Casos especiales por partícula

El escalado P ∝ z²/m⁴ explica por qué los electrones dominan. Un electrón (m_e = 0,511 MeV) radia 1,1×10¹³ veces más que un protón (m_p = 938 MeV) a la misma γ. Los positrones emiten igual que los electrones. Los protones empiezan a radiar de forma significativa solo por encima de γ ≈ 10⁴ (régimen LHC). Los iones pesados como Pb208 (z=82) tienen ventaja z² pero penalización m⁴: a 7 TeV/u el plomo radia aproximadamente como un protón a la misma γ. Los muones (m = 105,7 MeV) emitirían mucho a γ medio-altos pero su vida media de 2,2 µs limita el número de vueltas — es el reto central del proyecto Muon Collider.

Actualizado a julio de 2026