Calculadora Regla de Simpson (1/3, 3/8, Compuesta)

Calculadora regla de Simpson para integracion numérica: Simpson 1/3, 3/8 y compuesta. Error O(h^4), exacta para polinomios grado <= 3 con comparacion trapecios.

Parámetros de cálculo
¿Te ha sido útil esta calculadora?

Regla de Simpson para integración numérica

La regla de Simpson es uno de los métodos mas precisos para aproximar integrales definidas. Desarrollada por Thomas Simpson en 1743 (aunque conocida por Cavalieri 1635 y Gregory 1668), se basa en aproximar la función con polinomios cuadraticos entre pares consecutivos de puntos.

Simpson 1/3 (formula básica)

integral_{a}^{b} f(x) dx ~ (h/3) [f(a) + 4 f((a+b)/2) + f(b)] con h = (b-a)/2. Exacta para polinomios grado <= 3 (efecto magico: cubicas). Error: -(b-a)^5/2880 * f^(4)(xi).

Simpson 1/3 compuesta

Dividir [a,b] en n sub-intervalos pares. Formula: (h/3) [f(x_0) + 4 sum f(x_impar) + 2 sum f(x_par) + f(x_n)]. Error global O(h^4): orden 4. Halvar h reduce error 16x.

Simpson 3/8 (variante)

Usa polinomios cubicos sobre 4 puntos: (3h/8) [f(a) + 3 f(a+h) + 3 f(a+2h) + f(b)] con h = (b-a)/3. Mismo orden 4 pero constante de error ligeramente diferente.

Convergencia orden 4

Error global O(h^4). Halvar h reduce error 16x. Ejemplo: n=10 error 1e-4; n=20 error 6e-6; n=40 error 4e-7. Mucho mas rapida que trapecios (O(h^2): error /4 halvar h).

Exactitud para polinomios

Simpson 1/3 EXACTA para polinomios grado <= 3 (cubicas). Magia: formula con 3 puntos pero exacta también para cubicas porque error truncamiento se anula por simetría.

Ejemplos numericos

integral sin(x) en [0, pi] (exacta = 2):

  • Trapecios n=10: 1.9835 (error 1.6e-2)
  • Simpson 1/3 n=10: 2.00000067 (error 6.7e-7)
  • Simpson 1/3 n=20: 2.00000004 (error 4e-8)

Quadratura adaptativa

Dividir [a,b] en sub-intervalos hasta error < tolerancia. Estimación error via diferencia Simpson(h) y Simpson(h/2). Default scipy.integrate.quad (QUADPACK).

Comparación con otros métodos

  • Trapecios: orden 2. Exacto para lineales.
  • Punto medio: orden 2. Error /2 vs trapecios.
  • Simpson 1/3: orden 4. Exacto para cubicas.
  • Simpson 3/8: orden 4 con constante peor.
  • Boole: orden 6 (5 puntos).
  • Gauss-Legendre n: orden 2n.

Limites del método

  • Funciones con discontinuidades: dividir en sub-intervalos.
  • Oscilaciones rapidas: necesita n grande, mejor Filon o Levin.
  • Singularidades en extremos: cambio variable o Gauss-Jacobi.
  • f(x) costoso: Gauss-Legendre mas eficiente.

Historia

Cavalieri 1635 conocia formula similar. Gregory 1668 la generalizo. Simpson 1743 la publico en forma moderna. Cotes y Newton desarrollaron familia mas amplia (Newton-Cotes). Boole 1860 extendio a 5 puntos. Software moderno (scipy.integrate.quad, QUADPACK) usa Gauss-Kronrod adaptativo.

Newton-Cotes: la familia a la que pertenece Simpson

La regla de Simpson no esta aislada sino que pertenece a la familia de las formulas de Newton-Cotes, obtenidas integrando el polinomio interpolador sobre nodos equiespaciados. La regla del trapecio usa un polinomio de grado uno (dos nodos), Simpson 1/3 un polinomio de grado dos (tres nodos), Simpson 3/8 un polinomio de grado tres, la regla de Boole un polinomio de grado cuatro (cinco nodos). Cada formula integra exactamente los polinomios hasta su propio grado.

Un fenomeno notable es que las formulas de grado par, como Simpson 1/3, ganan un grado extra de precision gracias a la simetria: aunque usan parabolas, Simpson integra exactamente tambien los polinomios cubicos. Aumentar indefinidamente el grado no es sin embargo buena idea: las formulas de Newton-Cotes de orden alto sufren el fenomeno de Runge, con pesos negativos y fuertes oscilaciones que degradan la precision. Por eso en la practica se prefiere aplicar formulas de bajo grado sobre muchos subintervalos (formulas compuestas) en vez de una unica formula de grado elevado.

Mas alla de Newton-Cotes: quadratura de Gauss y Romberg

Si se abandona la restriccion de nodos equiespaciados se obtiene una neta ganancia de eficiencia. La quadratura de Gauss elige de forma optima tanto los nodos como los pesos, logrando integrar exactamente polinomios hasta el grado 2n-1 con solo n puntos, el doble de lo que consigue Newton-Cotes con el mismo numero de evaluaciones. Los nodos coinciden con los ceros de los polinomios de Legendre, y es el metodo de referencia cuando la funcion puede evaluarse en puntos arbitrarios.

Otra via es la extrapolacion de Romberg, que aplica la extrapolacion de Richardson a la regla del trapecio: combinando estimaciones con pasos sucesivamente divididos a la mitad elimina sistematicamente los terminos de error, generando una tabla que converge muy rapidamente y recupera, en el segundo nivel, precisamente la regla de Simpson. Junto con la quadratura adaptativa, que concentra los nodos donde la funcion varia mas, estos metodos forman el nucleo de la integracion numerica moderna, todos descendientes de la idea elemental de Simpson.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

Que es la regla de Simpson?

Es un metodo de integracion numerica que aproxima el area bajo una curva usando arcos de parabola en vez de segmentos de recta. La formula base en [a,b] es (h/3)[f(a) + 4 f(m) + f(b)], donde m es el punto medio, y converge mucho mas rapido que la regla del trapecio.

Cual es la diferencia entre Simpson 1/3 y 3/8?

Simpson 1/3 usa parabolas sobre pares de intervalos y requiere un numero par de subintervalos, con pesos 1-4-2-4-...-1. Simpson 3/8 usa cubicas sobre ternas de intervalos y requiere un multiplo de tres, con pesos 1-3-3-2-3-3-...-1. Ambas tienen error del mismo orden O(h^4).

Por que Simpson es exacta para polinomios cubicos?

Porque aunque construida interpolando con parabolas (grado dos), la regla de Simpson 1/3 goza de un grado extra de precision debido a la simetria de los nodos: los errores en los terminos cubicos se cancelan. Integra por tanto exactamente todos los polinomios hasta el grado tres incluido.

Que orden de convergencia tiene?

La Simpson compuesta tiene error global proporcional a h^4, donde h es la amplitud de los subintervalos. Al dividir h a la mitad el error se reduce en un factor 16, frente al factor 4 de la regla del trapecio. Esta convergencia rapida la hace muy eficiente para funciones suaves.

Que relacion tiene con las formulas de Newton-Cotes?

Simpson es la formula de Newton-Cotes cerrada con tres nodos (grado dos). La regla del trapecio es la version de dos nodos, la regla de Boole la de cinco nodos. Todas integran el polinomio interpolador sobre nodos equiespaciados, con precision creciente pero estabilidad decreciente a alto grado.

Que es la quadratura de Gauss?

Es un metodo que elige de forma optima nodos y pesos en vez de usar nodos equiespaciados, integrando exactamente polinomios hasta el grado 2n-1 con solo n puntos. Los nodos coinciden con los ceros de los polinomios de Legendre. Es el metodo mas eficiente cuando la funcion puede evaluarse en puntos arbitrarios.

Cuando puede dar Simpson resultados imprecisos?

Con funciones no suficientemente suaves (cuarta derivada grande o discontinua), con singularidades u oscilaciones rapidas. En estos casos la estimacion de error O(h^4) no vale y conviene usar la quadratura adaptativa, que densifica los nodos donde la funcion varia mas.

Quien ideo la regla de Simpson?

Lleva el nombre del matematico ingles Thomas Simpson (1710-1761), que la divulgo en 1743, aunque ya era conocida por Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri en el siglo XVII. Es una de las formulas de integracion numerica mas usadas aun hoy por su simplicidad y eficiencia.

Comentarios (0)

Sin comentarios aún. ¡Sé el primero!