Como calcular la capacidad Shannon-Hartley C=B*log2(1+SNR)

Calcula capacidad máxima canal Shannon-Hartley C=B*log2(1+S/N) bit/s. Claude Shannon Bell Labs 1948 + Hartley 1928. WiFi 20 MHz SNR 25 dB=166 Mbps, 5G NR 100 MHz=663 Mbps, GSM 200 kHz, LoRa IoT 125 kHz España Movistar.

Parámetros de cálculo
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Como calcular la capacidad de un canal de comunicación: teorema fundamental de teoría información formulado por Claude Shannon (USA 1916-2001) Bell Telephone Laboratories Murray Hill NJ en 1948 "A Mathematical Theory of Communication", basado en trabajo previo Ralph Hartley (USA 1888-1970) Bell Labs 1928. Formula fundamental: C = B * log2(1 + S/N), donde C capacidad máxima teórica canal (bits/s), B ancho banda (Hz), S potencia senal (W), N potencia ruido (W), S/N relación senal-ruido SNR. Equivalentemente con SNR en dB: SNR_linear = 10^(SNR_dB/10). Ejemplos: telefono POTS 3,4 kHz SNR=30 dB capacidad=33,9 kbps; WiFi 20 MHz SNR=25 dB cap=166 Mbps; 5G NR 100 MHz SNR=20 dB cap=663 Mbps; satelite GEO 36 MHz SNR=10 dB cap=125 Mbps; IoT LoRa 125 kHz SNR=-5 dB cap=37 kbps. Herramienta esencial para: diseno modems fibra óptica DSL ADSL VDSL FTTH (Movistar Madrid Vodafone España, Orange España, MasMovil), planificación 4G LTE 5G NR (Movistar Vodafone Orange España), WiFi router design IEEE 802.11 ax/be, comunicación satelite Hispasat Madrid Inmarsat Iridium Starlink, IoT LoRaWAN Sigfox NB-IoT (Semtech Sigfox Labege France), modulación adaptativa BPSK QPSK 16QAM 64QAM 256QAM 1024QAM 4096QAM máxima eficiencia espectral, deep space NASA Voyager Pioneer LDPC Turbo coding, fibra óptica coherent QAM modems Ciena Infinera USA leaders.

Fórmulas capacidad Shannon-Hartley

Teorema Shannon-Hartley (1948): C = B*log2(1+S/N). Para S/N>>1 (link fuerte): C ~ B*log2(S/N). Para S/N<<1 (link debil): C ~ B*S/(N*ln2). Eficiencia espectral eta = C/B = log2(1+SNR) bit/s/Hz. WiFi 802.11ax 6 GHz 1024QAM rate 5/6: eta_practica ~10 bit/s/Hz, Shannon limit theoretico eta_max~12 bit/s/Hz a SNR 35 dB.

Conversión dB-linear SNR: SNR_dB = 10*log10(SNR_linear). SNR 0 dB=1, 3 dB=2, 10 dB=10, 20 dB=100, 30 dB=1000, 40 dB=10000.

Eficiencia espectral modulación: BPSK 1 bit/symbol, QPSK 2, 8PSK 3, 16QAM 4, 64QAM 6, 256QAM 8, 1024QAM 10, 4096QAM 12 bits/symbol. SNR umbral (BER 10^-6 AWGN): BPSK 11 dB, QPSK 11 dB, 16QAM 18 dB, 64QAM 24 dB, 256QAM 30 dB, 1024QAM 36 dB. LDPC turbo gain 5-10 dB vs uncoded.

Bandwidth estandares: telefono POTS 3,4 kHz, AM radio 9 kHz, FM 200 kHz stereo, GSM 200 kHz, UMTS 5 MHz, LTE 1,4-20 MHz, 5G NR sub-6 GHz 5-100 MHz, 5G mmWave 50-400 MHz, WiFi 20-320 MHz, satelite C-band 36 MHz, fibra óptica DWDM 50 GHz.

Noise floor térmico: N = -174 dBm/Hz + 10*log10(B_Hz) a T=290 K. B=20 MHz noise=-101 dBm, 100 MHz=-94 dBm. Receiver NF=5-10 dB. CSIC Madrid laboratorios calibración espanoles.

Historia y contexto

Claude Shannon (USA 1916-2001) Petoskey MI ingeniero matematico Bell Telephone Laboratories Murray Hill NJ desde 1941 PhD MIT 1940. Publico 1948 "A Mathematical Theory of Communication" Bell Sys Tech J 27:379+623 entropia binaria H=-sum(p_i*log2(p_i)), capacidad canal C=B*log2(1+S/N), Source coding Huffman, Channel coding FEC. National Medal Science 1966 USA. Ralph Hartley (USA 1888-1970) Bell Labs 1928 "Transmission of Information" Bell Sys Tech J 7:535. Harry Nyquist (Suecia-USA 1889-1976) Bell Labs 1924-1928 sampling teorema f_s>=2*B_max. Robert Fano (Italia-USA 1917-2016) MIT 1949. David Huffman (USA 1925-1999) MIT 1952. Robert Gallager (USA 1931-) MIT 1962 LDPC. Andrew Viterbi (Italia-USA 1935-) UC San Diego 1967 algoritmo Viterbi, Qualcomm fundador 1985. Claude Berrou (Francia 1951-) ENST Bretana 1993 Turbo codes. Erdal Arikan (Turquia 1958-) Bilkent 2009 Polar codes 5G NR. Industria global telecom: Cisco San Jose CA, Juniper Sunnyvale, Qualcomm San Diego CA cellular leader Viterbi co-fundador, Broadcom, Marvell. España telecom: Telefonica Movistar Madrid operador principal mayor mercato cuota España, Vodafone España Madrid, Orange España Madrid, MasMovil Madrid Yoigo. Indra Sistemas Madrid radar defensa simulators sistemas, ITP Aero Zamudio Vizcaya motores aerospace. Fibra óptica: Telxius filial Telefonica cables submarinos international, Cellnex Barcelona torres telecom Europe leader. Equipamento: Cisco Aruba HPE importaciones España, Indra Madrid integration.

Operadores satelite España: Hispasat Madrid filial espanola broadcast TV satelitar Iberoamerica, Eutelsat Paris filial España, Inmarsat London. Universidades: UPM Madrid ETSIT Telecomunicaciones, UPC Cataluna Barcelona ETSETB ingenieria telecom, Universidad Sevilla US ETSI escuela ingenieria, Universidad Granada UGR física aplicada. CSIC ICMM Madrid IQAC Barcelona ricerca. INTA Madrid Torrejon Ardoz aerospace. Premios espanoles teoría información AEIT Asociación Espanola Ingenieria Telecomunicación Madrid.

Tabla capacidad Shannon-Hartley sistemas tipicos

  • POTS 3,4 kHz SNR 30 dB: C=33,9 kbps
  • AM radio 9 kHz SNR 25 dB: C=74,8 kbps
  • FM stereo 200 kHz SNR 50 dB: C=3,3 Mbps
  • GSM 200 kHz SNR 12 dB: C=815 kbps
  • UMTS 5 MHz SNR 10 dB: C=17,3 Mbps
  • LTE 20 MHz SNR 20 dB: C=133 Mbps
  • 5G NR 100 MHz SNR 20 dB: C=663 Mbps
  • 5G mmWave 800 MHz SNR 15 dB: C=4 Gbps
  • WiFi 802.11n 20 MHz SNR 25 dB: C=166 Mbps
  • WiFi 802.11ax 160 MHz SNR 30 dB: C=1,6 Gbps
  • WiFi 802.11be 320 MHz SNR 35 dB: C=3,72 Gbps
  • Satelite C-band 36 MHz SNR 10 dB: C=125 Mbps
  • IoT LoRa 125 kHz SNR -5 dB: C=37,4 kbps
  • NB-IoT 200 kHz SNR -10 dB: C=29,6 kbps
  • Sigfox 100 Hz UNB: C=346 bps
  • Fibra óptica DWDM 50 GHz SNR 30 dB: C=498 Gbps por canal
  • BPSK eficiencia espectral: 1 bit/symbol
  • QPSK: 2 bit/symbol
  • 16QAM: 4 bit/symbol
  • 64QAM: 6 bit/symbol
  • 256QAM: 8 bit/symbol
  • 1024QAM: 10 bit/symbol
  • 4096QAM: 12 bit/symbol

Ejemplos numericos detallados

Ejemplo 1 - Telefono POTS V.90 modem. POTS analogico 3,4 kHz SNR 30 dB. C=33,9 kbps. Realidad V.90 1998: 38,4 kbps DOWN. Aplicación: Movistar Telefonica Madrid centrales numericas, fase out POTS España 2025-2030 hacia all-IP fibra Telefonica.

Ejemplo 2 - WiFi 802.11n 2,4 GHz router. B=20 MHz SNR 25 dB. C=166 Mbps Shannon limit. Realidad 802.11n MIMO 2x2 64QAM: 144 Mbps PHY. Aplicación: Movistar Smart WiFi 6, Vodafone España Madrid, Orange España Livebox routers domesticos.

Ejemplo 3 - 5G NR sub-6 GHz España. B=100 MHz banda n78 (3,3-3,8 GHz). SNR 20 dB. C=666 Mbps Shannon. Realidad 5G NR MIMO 4x4 256QAM: 940 Mbps DL theoretical, 200-400 Mbps real. Aplicación: Movistar Madrid Telefonica n78 banda principal España, Vodafone España Madrid, Orange España Madrid.

Ejemplo 4 - Satelite C-band transponder. Hispasat 30W broadcast Iberoamerica B=36 MHz, SNR 10 dB QPSK 3/4 DVB-S2. C=125 Mbps Shannon. Realidad DVB-S2: 81 Mbps net. Aplicación: Hispasat Madrid filial espanola broadcast TV satelitar America Latina, ESA Villafranca Madrid ESAC Centro Operaciones Europeas.

Ejemplo 5 - IoT LoRa 868 MHz EU. Sensor remoto LoRa CSS 868 MHz, B=125 kHz, SNR -5 dB. C=49,3 kbps Shannon. Realidad SF7-SF12: 5,47 kbps a 300 bps. Aplicación: smart meters utilidades Movistar Vodafone España, agricultura precisión Castilla-La Mancha Andalucia, smart cities Madrid Barcelona Valencia.

Limites y consideraciones

  1. Capacidad teórica máxima: codificación FEC infinita, retraso ilimitado.
  2. SNR ruido aditivo Gaussiano (AWGN): real-world incluye multipath fading.
  3. Bandwidth -3 dB cutoff: filtros raised cosine alpha 0,2-0,5 aumenta 20-50%.
  4. Eficiencia espectral real limit hardware: 64QAM 5,5 vs 6 bit/s/Hz.
  5. Rate distortion theorem source-coding compresión lossy.
  6. MIMO multiplexing M*M antenas multiplica capacidad parallel streams.
  7. Nyquist sampling f_sampling >= 2*B_max critical digital ADC.
  8. Eb/N0 normalizado different from C/N: Eb/N0 = SNR + 10*log10(B/Rb).
  9. Fading channels Rayleigh outage 5-10 dB less Shannon.
  10. Limites cuanticos h*f minimum photon/bit IR free-space optical.

Errores comunes

  1. Confundir SNR linear con SNR dB.
  2. Calcular capacity bits/Hz vs bits/s.
  3. Despreciar modulation order.
  4. Pretender capacity practical = Shannon limit.
  5. Confundir C/N con Eb/N0.
  6. Despreciar FEC overhead rate.
  7. Pretender log2 valida tutti SNR.
  8. Confundir bandwidth -3 dB con noise bandwidth.
  9. Pretender bit-rate ilimitado.
  10. Despreciar delay codifica LDPC turbo ms.

Aplicaciones numeradas

  1. España telecom 5G: Movistar Madrid Telefonica principal, Vodafone España Madrid, Orange España Madrid, MasMovil Yoigo.
  2. Fibra óptica España: Telxius filial Telefonica cables submarinos, Cellnex Barcelona torres telecom Europe leader.
  3. WiFi planning: Cisco USA, Aruba HPE, Movistar Smart WiFi 6, Vodafone España, Orange Livebox.
  4. Satelite Hispasat Madrid: filial espanola broadcast TV satelitar Iberoamerica America Latina.
  5. IoT LoRa NB-IoT España: smart meters Movistar Vodafone, agricultura precisión Castilla-La Mancha.
  6. Equipamiento RF: Cisco Aruba HPE importaciones España, Indra Sistemas Madrid integration.
  7. Modulation chipsets: Qualcomm USA Viterbi co-fundador, Broadcom, Marvell, importaciones España.
  8. Deep space ESA: ESA Villafranca Madrid ESAC operations center, INTA Torrejon Ardoz aerospace.
  9. Universidades teoría información: UPM ETSIT Madrid, UPC ETSETB Barcelona, US ETSI Sevilla, UGR Granada.
  10. Educational: AEIT Asociación Espanola Ingenieria Telecomunicación Madrid, ITU-T Geneva, IEEE-ITSoc.

Soporte

Para preguntas tecnicas: info@calcoi.com. Herramienta didactica teoría información preliminar. Para investigación profesional Shannon CE 1948, Hartley RVL 1928, Cover-Thomas 'Elements of Information Theory' 2006 Wiley, Proakis 'Digital Communications' 2007.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

Que mide el teorema Shannon-Hartley?

Teorema Shannon-Hartley (Claude Shannon Bell Labs 1948 + Ralph Hartley 1928) mide capacidad máxima teórica canal comunicacion: C = B*log2(1+S/N) bits/s. B bandwidth Hz, S/N relación senal-ruido SNR linear. Ejemplos: POTS 3,4 kHz SNR 30 dB C=33,9 kbps, WiFi 20 MHz SNR 25 dB C=166 Mbps, 5G NR 100 MHz SNR 20 dB C=663 Mbps, IoT LoRa 125 kHz SNR -5 dB C=37 kbps. Aplicaciones: diseno modems fibra óptica DSL ADSL VDSL FTTH, cellular 4G LTE 5G NR Movistar Vodafone Orange España, WiFi 802.11 ax/be Cisco Aruba HPE, satelite Hispasat Madrid, IoT LoRaWAN Sigfox.

Diferencia SNR linear vs SNR dB?

SNR linear adimensional. SNR dB = 10*log10(S/N). SNR_linear = 10^(SNR_dB/10). 0 dB=1, 10 dB=10, 20 dB=100, 30 dB=1000, 40 dB=10000. Error comun: usar SNR dB directamente formula log2(1+SNR_linear). Ejemplo: 30 dB -> 1000, log2(1001)=9,97 bits/s/Hz, NO log2(31)=4,95.

Que es la eficiencia espectral?

Eficiencia espectral eta = C/B = log2(1+SNR) bit/s/Hz mide informacion por Hz bandwidth. Practical limits: WiFi 802.11ax 1024QAM eta~10 bit/s/Hz, Wi-Fi 7 4096QAM eta~12 bit/s/Hz, LTE 256QAM eta~5,5, 5G NR 256QAM eta~6, fibra óptica coherent QAM-16K eta~14. Shannon limit theoretico SNR 30 dB eta~10.

Como elegir modulacion correcta?

Modulacion adaptativa basada SNR canal: SNR35 dB 1024QAM 4096QAM (10-12 bit/sym). Standards: LTE-A 256QAM, 5G NR 256QAM, WiFi 802.11ax 1024QAM, Wi-Fi 7 4096QAM.

Que es Eb/N0 vs SNR?

Eb/N0 energía per bit/spectral noise density (dB). Conversión: Eb/N0_dB = SNR_dB - 10*log10(B/Rb), Rb bit-rate. WiFi SNR 25 dB BW 20 MHz Rb 144 Mbps: Eb/N0=33,6 dB. BER 10^-6 AWGN threshold: BPSK 11 dB, QPSK 11, 16QAM 18, 64QAM 24, 256QAM 30, 1024QAM 36. LDPC turbo Shannon limit BPSK ~0,2 dB Eb/N0.

Como mejorar capacidad real?

Aumentar capacidad: 1) bandwidth mayor B; 2) SNR mayor (alta Pt antena gain low noise NF); 3) MIMO multiplexing antenas multiples M*M; 4) advanced modulation 256QAM 1024QAM 4096QAM; 5) FEC LDPC turbo polar coding closing Shannon limit 0,5-2 dB; 6) cooperative relays mesh networks. 5G NR 1Gbps 100 MHz + 4x4 MIMO + 256QAM. Wi-Fi 7 9,6 Gbps theoretico 320 MHz + 16x16 MU-MIMO + 4096QAM. España: Movistar 5G C-band 3,7 GHz 2 Gbps.

Limites fundamentales Shannon-Hartley?

Limite Shannon-Hartley fundamental: C máxima teórica con codificacion óptima infinitely long delay. Real systems achievable 0,5-2 dB bajo limit. Excepciones: 1) AWGN assumption: real channels Rayleigh Rician fading -5-10 dB; 2) bandwidth -3 dB; 3) MIMO improves capacity not bandwidth; 4) lossy compression source bandwidth; 5) quantum limit photon h*f minimum sub-Shannon. Futuro: post-Shannon network coding, Polar codes 5G NR Arikan 2009, optical CW high-photon FOC fibra optical communication.

Fórmula

C = B*log2(1+S/N) bit/s
eta = C/B = log2(1+SNR) bit/s/Hz
SNR_linear = 10^(SNR_dB/10); SNR_dB = 10*log10(SNR_linear)
For S/N<<1: C ~ B*S/(N*ln2) = 1.44*B*S/N
For S/N>>1: C ~ B*log2(S/N) = B*(SNR_dB/3.01)
Eb/N0_dB = SNR_dB - 10*log10(B/Rb) - normalized per bit
N = -174 dBm/Hz + 10*log10(B_Hz) at T=290 K
BPSK 1, QPSK 2, 16QAM 4, 64QAM 6, 256QAM 8, 1024QAM 10, 4096QAM 12 bit/symbol
BPSK 11 dB Eb/N0, 16QAM 18 dB, 64QAM 24 dB, 256QAM 30 dB, 1024QAM 36 dB (BER 10^-6 AWGN)
WiFi 20 MHz SNR 25 dB=166 Mbps, 5G NR 100 MHz SNR 20 dB=663 Mbps, GSM 200 kHz=815 kbps
Shannon CE 1948 'A Mathematical Theory of Communication' Bell System Technical Journal 27:379-423 + 27:623-656; Hartley RVL 1928 'Transmission of Information' Bell Sys Tech J 7:535-563; Cover TM Thomas JA 2006 'Elements of Information Theory' 2nd ed Wiley; Proakis JG Salehi M 2007 'Digital Communications' 5th ed McGraw-Hill

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