Calculadora Runge-Kutta (RK2, RK3, RK4, RK45 Fehlberg)

Calculadora Runge-Kutta para ODE: RK2 Heun y punto medio, RK3 Kutta, RK4 clasico (gold standard), RK45 Fehlberg adaptativo con estimación error embedded.

Parámetros de cálculo
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Metodos de Runge-Kutta para ODE

Los métodos de Runge-Kutta son una familia de algoritmos de un paso para integrar numericamente ecuaciones diferenciales ordinarias y' = f(t,y). Desarrollados por Carl Runge (1895) y Wilhelm Kutta (1901), generalizan el método de Euler a etapas multiples para obtener ordenes de convergencia mas altos.

Idea general

Un método RK de s etapas calcula y_{n+1} = y_n + h * (b_1 k_1 + ... + b_s k_s) donde k_i = f(t_n + c_i h, y_n + h sum_{j} a_{ij} k_j). Coeficientes organizados en "tablero de Butcher".

RK2 Heun (orden 2)

Predictor-corrector: k1 = f(t_n, y_n), k2 = f(t_n + h, y_n + h k1), y_{n+1} = y_n + h (k1 + k2) / 2. Error global O(h^2). 2 evaluaciones por paso.

RK4 clasico (orden 4) - Gold standard

4 etapas: k1, k2 (medio con k1), k3 (medio con k2), k4 (final con k3). y_{n+1} = y_n + h (k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4) / 6. Error O(h^4). Estándar en física computacional, simulaciones planetarias, dinámica molecular.

RK45 Fehlberg adaptativo

Calcula simultaneamente RK4 y RK5 con mismos 6 valores de k. Estimación error: |y_5 - y_4|. Adapta h automaticamente. Default en scipy.integrate.RK45.

Convergencia y orden

Error global de método orden p es O(h^p). Halvar h reduce error por 2^p. RK4: error /16 cada halvado. Trade-off: orden mayor = mas evaluaciones pero h mayor posible.

Estabilidad

RK4 región de estabilidad finita en plano complejo, no A-estable. Para problemas stiff: métodos implicitos (BDF, Radau, Rosenbrock).

Comparación practica

Para y' = -y, T = 10 (exacta = e^-10):

  • Euler explicito h=0.1: error 4%
  • RK2: error 0.06%
  • RK3: error 5e-5%
  • RK4: error 4e-7%
  • RK45 adaptativo: ~5 pasos

Tablero de Butcher

Notación estándar introducida por John Butcher (1963): matriz A, vector b (pesos), vector c (nodos). Para RK4 clasico: c=[0,1/2,1/2,1], b=[1/6,1/3,1/3,1/6]. Verificación consistencia: sum(b_i)=1.

Metodos avanzados

  • Cash-Karp, Dormand-Prince: variantes embedded.
  • RK Gauss-Legendre: A-estable, orden máximo.
  • Rosenbrock: linealmente implicito stiff.
  • Verlet: simplectico Hamiltonianos.

Historia

Runge 1895, Kutta 1901, Fehlberg 1969 (NASA), Dormand-Prince 1980. Monografia: Hairer-Norsett-Wanner "Solving ODEs" (1987-1996).

Las condiciones de orden y la barrera de Butcher

Para que un metodo de Runge-Kutta alcance un orden de precision dado, sus coeficientes deben satisfacer un conjunto preciso de ecuaciones algebraicas llamadas condiciones de orden. La mas simple, la consistencia, exige que la suma de los pesos b_i valga 1; para el orden dos se anade la condicion sobre los momentos de los nodos, y para ordenes superiores el numero de condiciones crece rapidamente. John Butcher formalizo esta teoria en los anos sesenta ligando cada condicion a un arbol con raiz, una elegante herramienta combinatoria que cuenta y organiza las restricciones.

Hasta el orden cuatro existe un metodo con exactamente tantas etapas como el orden, y por eso RK4 usa cuatro evaluaciones. Mas alla del orden cuatro interviene sin embargo la barrera de Butcher: ningun metodo explicito de orden cinco puede tener solo cinco etapas, se necesitan al menos seis, y para ordenes aun mas altos la brecha crece. Esta limitacion teorica explica por que RK4 representa un punto de equilibrio tan favorable entre precision y coste computacional.

Dormand-Prince y los solvers modernos

El metodo de Fehlberg RK45 fue el primer esquema embebido en hacerse popular, pero hoy el estandar de facto es el par de Dormand-Prince (DP54), usado por el solver ode45 de MATLAB y por el metodo RK45 de SciPy. Como RKF45 calcula a la vez una estimacion de orden cuatro y una de orden cinco para controlar el error, pero sus coeficientes estan optimizados para minimizar el error de la solucion de orden cinco, que es la efectivamente propagada.

Dormand-Prince goza ademas de la propiedad FSAL (First Same As Last): la ultima evaluacion de un paso coincide con la primera del siguiente, ahorrando una evaluacion de funcion por paso. Muchos solvers modernos ofrecen tambien salida densa, una interpolacion que da la solucion en cualquier punto entre nodos sin reducir el paso. Estos refinamientos, todos herederos de la idea original de Runge y Kutta, hacen de los solvers adaptativos la herramienta estandar para EDO en la ciencia computacional.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

Que son los metodos de Runge-Kutta?

Son una familia de metodos numericos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y' = f(t,y). En cada paso evaluan la pendiente en varios puntos intermedios y hacen una media ponderada, obteniendo una precision muy superior al simple metodo de Euler para el mismo paso.

Que es el metodo RK4 clasico?

Es el Runge-Kutta de orden cuatro, el mas usado en la practica: combina cuatro evaluaciones de la pendiente (k1 al inicio, k2 y k3 a medio paso, k4 al final) en la media ponderada (k1+2k2+2k3+k4)/6. Ofrece un excelente compromiso entre precision y coste y se considera el estandar aureo.

Que significa el orden de un metodo?

El orden indica cuan rapido disminuye el error al reducir el paso h: un metodo de orden p tiene error global proporcional a h^p. Al dividir h a la mitad, RK2 reduce el error a un cuarto, RK4 a un dieciseisavo. Ordenes mas altos dan mucha mas precision con menos pasos.

Que es un metodo adaptativo como RK45?

Es un metodo que ajusta automaticamente el paso h durante el calculo. RK45 (Fehlberg o Dormand-Prince) calcula dos estimaciones de orden distinto (4 y 5) y de su diferencia deduce el error local, reduciendo el paso donde la solucion varia rapidamente y ampliandolo donde es suave.

Que es el tablero de Butcher?

Es la tabla compacta que resume los coeficientes de un metodo de Runge-Kutta: los nodos temporales, los pesos de la media final y los coeficientes que combinan las etapas intermedias. Introducido por John Butcher, permite describir cualquier metodo RK y verificar sus condiciones de orden.

Por que RK4 usa exactamente cuatro etapas?

Porque hasta el orden cuatro es posible construir un metodo explicito con tantas etapas como el orden. Mas alla del orden cuatro interviene la barrera de Butcher: un metodo de orden cinco requiere al menos seis etapas, haciendo de RK4 un equilibrio optimo entre precision y coste.

Que diferencia hay con el metodo de Euler?

El metodo de Euler es el Runge-Kutta mas simple, de orden uno, y usa una sola evaluacion de la pendiente por paso. Los metodos RK de orden superior usan mas en puntos intermedios, reduciendo drasticamente el error: RK4 es tipicamente millones de veces mas preciso que Euler para el mismo paso.

Que solver se usa en la practica?

En el software cientifico el estandar es el par de Dormand-Prince (DP54): el solver ode45 de MATLAB y el metodo RK45 de SciPy lo usan. Es un metodo adaptativo de orden 4-5 con control automatico del error y la propiedad FSAL que ahorra una evaluacion por paso.

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