Suma de Riemann: integración como límite

La integral definida ∫_a^b f(x) dx (Riemann 1854) se define como el límite de sumas de áreas rectangulares. Δx = (b−a)/N subintervalos: suma izquierda L_N = Σᵢ f(a+i·Δx)·Δx; derecha R_N = Σᵢ₌₁^N f(a+i·Δx)·Δx; punto medio M_N = Σᵢ f(a+(i+0,5)·Δx)·Δx. Para N → ∞ convergen a la misma integral.

Orden de error

Izquierda/derecha: O(1/N). Punto medio/trapezoidal: O(1/N²). Simpson 1/3: O(1/N⁴). Con N=100 Simpson da 8-10 dígitos correctos en funciones suaves.

Regla del trapecio

T_N = Δx · [f(a)/2 + Σᵢ₌₁^{N−1} f(a+i·Δx) + f(b)/2]. Promedio de izquierda y derecha. Base de Romberg con extrapolación de Richardson.

Regla de Simpson 1/3

S_N = Δx/3 · [f(a) + 4·Σ_impar f + 2·Σ_par f + f(b)]. Requiere N par. Exacta para polinomios hasta grado 3. N=10 da 8 dígitos para f suave.

Comparación ∫₀^π sin(x) dx = 2

N=10: Left 1,9835; Right 1,9835; Midpoint 2,0082; Trap 1,9836; Simpson 2,00002. N=100: Simpson 2,0000000001 (9 dígitos).

Integrales singulares

Cuadratura adaptativa (Gauss-Kronrod, Clenshaw-Curtis, Romberg). Multidimensional: Monte Carlo O(1/√N) independiente de d; quasi-MC (Sobol, Halton); Smolyak sparse grid.

Aplicaciones

Física (trabajo, flujo, energía); estadística (CDF); finanzas (opciones, VaR); ingeniería (centro de masa); biología (biomasa); ML (evidencia bayesiana); gráficos (rendering); astronomía (luminosidad).

Cómo usar

Modo: Izquierda, Derecha, Punto medio/Trapezoidal, Simpson (N par). f(x) en sintaxis JS (Math.sin, x**2, Math.exp).

Ejemplo numérico

∫₀^π sin(x) dx = 2. Con N=10: suma izquierda = 1,9835 (err 0,83%); derecha 1,9835 (−0,83%); midpoint 2,0082 (+0,41%); trapezoidal 1,9836 (−0,82%); Simpson 2,00002 (+0,001%). Con N=100: Simpson alcanza 9 dígitos (2,0000000001). Simpson es claramente superior para funciones suaves.

De Riemann a la integración numérica moderna

Bernhard Riemann formalizó en 1854 el concepto de integral definida como límite de las sumas que hoy llevan su nombre, dando rigor a la idea intuitiva de área bajo una curva. Las reglas de cuadratura como los trapecios y el método de Simpson —este último debido a Thomas Simpson en el siglo XVIII— refinan la aproximación usando polinomios de grado creciente. En la práctica computacional se usan métodos adaptativos y la cuadratura de Gauss, que eligen nodos y pesos óptimos. Pero la suma de Riemann sigue siendo el concepto fundacional del cálculo integral.

Cuándo se necesita la integración numérica

La integración numérica es indispensable cuando la integral no tiene primitiva elemental, como e^(−x²) (la gaussiana) o sin(x)/x, o cuando la función solo se conoce en puntos experimentales medidos en un laboratorio. Es la base de la física computacional, la ingeniería y la estadística: la inmensa mayoría de las integrales que aparecen en problemas reales solo pueden resolverse con métodos numéricos como los que implementa esta calculadora.

Actualizado a julio de 2026