Cómo calcular área y perímetro del pentágono regular

Calcula área, perímetro, apotema y radio del pentágono regular. Fórmula A = (5/4)·s²·cot(π/5) ≈ 1,7205·s², diagonal = s·φ. Construcción Euclides IV/11, ISO 80000-2.

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Cómo calcular área y perímetro del pentágono regular permite encontrar las magnitudes fundamentales de este polígono regular de 5 lados con ángulos interiores de 108°. Fórmulas: A = (5/4) × s² × cot(π/5) ≈ 1,7205 × s², P = 5 × s, apotema ≈ 0,6882s, radio circunscrito ≈ 0,8507s, diagonal = s × φ ≈ 1,6180 × s (número áureo). Construcción de Euclides Elementos (Libro IV, prop. 11), AENOR ISO 80000-2:2019.

Fórmula y definición

Polígono regular de 5 lados, suma ángulos interiores 540° (108° cada uno). Compuesto por 5 triángulos isósceles con vértice en el centro. Para s = 10 cm: A = 172,05 cm², P = 50 cm, apotema = 6,88 cm, R = 8,51 cm, diagonal = 16,18 cm. Diagonal/lado = φ (número áureo).

Historia y aplicaciones

Estudiado por Pitagóricos (siglo VI a.C.) como símbolo. Euclides Elementos (Libro IV, prop. 11) describe construcción con regla y compás. Gauss (1796) demostró criterios de constructibilidad. Aplicaciones: edificio Pentágono USA, NASA módulos lunares, fullereno C60 (Nobel 1996), pelotas de fútbol FIFA. CSIC español usa simetría pentagonal en cristalografía y CNIO en biología molecular.

Tabla valores pentágono regular

Lado s (cm)Área (cm²)Perímetro (cm)Apotema (cm)Diagonal (cm)
11,72055,000,68821,6180
543,01225,003,4418,090
10172,04850,006,88216,180
20688,191100,0013,76432,361

5 ejemplos numéricos verificados

  1. Pavimentación pentagonal decorativa: 100 azulejos lado 8 cm. Área 110,11 cm² cada uno.
  2. Edificio Pentágono Washington: lado 281 m. Área 135.840 m².
  3. Estrella pentagrama simbólica: pentágono 5 cm, diagonales 8,09 cm.
  4. Mosaico Penrose decorativo: pentágonos lado 10 cm aperiódico.
  5. Módulo lunar NASA Apollo: 12 pentágonos lado 1,5 m, área 3,87 m² cada uno.

Límites del modelo

  • Solo pentágonos regulares: irregulares requieren fórmula Bretschneider.
  • Pentágono no tesela el plano: 3×108° = 324° ≠ 360°.
  • Construcción regla-compás compleja: 11 pasos de Euclides.

Errores comunes

  • Confundir apotema y radio circunscrito: 0,6882s vs 0,8507s.
  • Aproximar cot(36°) como 1,4: valor exacto 1,3764.
  • Calcular área como triángulo único: usar 5 triángulos isósceles.
  • Despreciar el número áureo: diagonal/lado = φ exacto.
  • Pretender teselación con pentágonos regulares: matemáticamente imposible.
  • Usar fórmula general polígono: A = (P × apotema)/2 equivale a trigonométrica.

Aplicaciones prácticas numeradas

  1. Cálculo azulejos pentagonales decorativos: 808 piezas para 5 m².
  2. Cúpula geodésica arquitectónica: Fuller 1949, 12 pentágonos + 20 hexágonos.
  3. Construcción mesa de póker pentagonal: lado 1,2 m, 5 jugadores con 108°.
  4. Estrella pentagrama artística: símbolo Pitagórico, militar, banderas.
  5. Pavimento baño pentagonal: pentágonos + decágonos en mosaico histórico.
  6. Modelo molecular fullereno C60: Nobel 1996, lado 0,142 nm.
  7. Cálculo círculo inscrito/circunscrito: diferencia áreas significativa.

Para soporte técnico: info@calcoi.com.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula del área del pentágono regular?

El área del pentágono regular con lado s es A = (5/4) × s² × cot(π/5) ≈ 1,72048 × s². Para s = 10 cm: A = 172,05 cm². Se obtiene descomponiendo el pentágono en 5 triángulos isósceles con vértice en el centro, o como (P × apotema)/2. Codificada en los Elementos de Euclides (Libro IV, prop. 11) y AENOR ISO 80000-2:2019.

¿Cómo se calcula el apotema del pentágono regular?

El apotema, distancia del centro al punto medio de un lado, es el radio del círculo inscrito: a = s/(2·tan(π/5)) = s × cot(36°)/2 ≈ 0,6882 × s. Para lado 10 cm: apotema = 6,88 cm. Se obtiene del triángulo rectángulo formado por la mitad del lado (s/2), el apotema y el radio circunscrito, aplicando el teorema de Pitágoras.

¿Cuántos grados miden los ángulos interiores?

Los ángulos interiores del pentágono regular son todos 108° (suma total = 540° = (n-2)×180° para n=5). Los ángulos exteriores son 72° cada uno. Esta propiedad NO permite al pentágono teselar el plano: 3 pentágonos en un vértice = 324° ≠ 360°. Necesitan combinaciones con otros polígonos (triángulos, decágonos).

¿Qué es el número áureo φ del pentágono?

El número áureo φ = (1+√5)/2 ≈ 1,61803 es la relación entre la diagonal y el lado del pentágono regular (diagonal = s × φ). Pitágoras lo estudió como símbolo perfecto. Se encuentra en: espiral logarítmica, conchas, hojas de girasol, proporciones del arte (Vitruvio, Leonardo). Para pentágono lado 10 cm: diagonal = 16,18 cm.

¿Se puede construir pentágono con regla y compás?

Sí, Euclides en los Elementos (Libro IV, prop. 11) describe la construcción exacta con regla y compás en 11 pasos. Gauss (1796) demostró que los polígonos regulares construibles son aquellos con n lados donde n = 2^k × p₁ × p₂ × ... con primos de Fermat distintos. El 5 es primo de Fermat (F_1). Software CAD como AutoCAD usa el comando "polygon n=5".

¿Los pentágonos regulares teselan el plano?

No, es matemáticamente imposible (Pappus 290 d.C.). El pentágono regular tiene ángulos de 108°, y 3 pentágonos en un vértice = 324° dejan huecos de 36°. Las teselaciones regulares del plano son solo 3: triángulos equiláteros, cuadrados, hexágonos regulares. Pero pentágonos irregulares sí: Marjorie Rice (1975) encontró 15 tipos diferentes que teselan.

¿Ejemplos famosos de pentágonos regulares?

Edificio Pentágono USA (DoD Washington, lado 281 m, 5 anillos concéntricos), mesas de póker, estrellas de 5 puntas (pentagrama) en banderas (USA, China, Marruecos, Etiopía, Vietnam), fullereno C60 (12 pentágonos + 20 hexágonos, Premio Nobel 1996), pelotas de fútbol FIFA (32 paneles: 12 pentágonos negros + 20 hexágonos blancos).

Fórmula

A = \frac{5}{4}s^2\cot\frac{\pi}{5},\;P=5s,\;a=\frac{s\cot(\pi/5)}{2}

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