Calculadora Método de Newton-Raphson

Encuentra raíces de f(x)=0 con el método iterativo de Newton-Raphson. Raíces cuadradas, cúbicas, recíprocos y funciones personalizadas con pasos completos.

Parámetros de cálculo
Scegli il tipo di equazione da risolvere.
Valore di cui calcolare radice/reciproco. Per √2 inserire 2. Per ∛27 inserire 27.
Punto di partenza. Per √a scegliere x₀ > 0. La scelta influisce sul numero di iterazioni, non sulla convergenza (per f convesse).
Criterio di arresto: |xₙ₊₁ − xₙ| < tol. Valore tipico 1e-12. Minimo 1e-15 (limite precisione macchina).
Limite di iterazioni. Newton converge quadraticamente: 50 iterazioni bastano largamente.
Solo modo personalizzato. Sintassi JavaScript matematica. Esempio: x*x*x - 2*x - 5 oppure Math.sin(x) - x/2
Solo modo personalizzato. Derivata della funzione. Esempio per x³-2x-5: 3*x*x - 2
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El método de Newton-Raphson

El método de Newton-Raphson — o simplemente método de Newton — es el algoritmo iterativo más usado para hallar raíces de f(x)=0. Desarrollado por Newton en la década de 1660 y presentado en forma moderna por Joseph Raphson en 1690, es la base de casi toda calculadora científica y biblioteca numérica, gracias a su convergencia cuadrática en raíces simples: cada iteración aproximadamente duplica los dígitos correctos.

La iteración

xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn)

Geométricamente se traza la recta tangente a f en (xn, f(xn)) y se toma su intersección con el eje x como nueva estimación. La iteración se detiene cuando |xn+1−xn| < tol o al alcanzar un máximo de iteraciones.

Los cuatro modos

  1. Raíz cuadrada √a: Newton sobre f(x) = x² − a: xn+1 = ½·(xn + a/xn). Fórmula de Herón de Alejandría.
  2. Raíz cúbica ∛a: xn+1 = (2xn + a/xn²)/3. Vale también para a negativo.
  3. Recíproco 1/a sin división: xn+1 = xn·(2 − a·xn). Útil en hardware sin instrucción de división.
  4. f(x), f′(x) personalizadas: dos expresiones JavaScript; el calculador ejecuta Newton en sandbox.

Convergencia cuadrática

Cerca de una raíz simple α con f′(α)≠0, el error en=xn−α satisface en+1≈C·en² con C=f″(α)/(2f′(α)). Duplica los dígitos correctos en cada paso: 5-6 iteraciones bastan para la precisión doble (~16 dígitos).

Cuándo falla Newton

  • Derivada nula: tangente horizontal, iteración indefinida.
  • Raíz múltiple: convergencia lineal; se restaura con Newton modificado: xn+1 = xn − m·f/f′.
  • Divergencia oscilatoria: estimación inicial lejana.
  • Cuenca fractal: en f(x)=x³−x la cuenca de atracción es fractal.

Comparación

  • Bisección: lineal, pero siempre converge en [a,b] si f(a)·f(b)<0.
  • Secante: orden ≈1,618 (razón áurea); no requiere derivada.
  • Brent: el más robusto — combina bisección, secante e interpolación cuadrática inversa.
  • Halley: orden cúbico, requiere f″.

Aplicaciones modernas

  • Instrucciones hardware de raíz cuadrada;
  • Inversión de matrices mediante iteración;
  • Optimización no lineal (Newton sobre el gradiente);
  • Sistemas no lineales con la matriz Jacobiana;
  • Gauss-Newton y Levenberg-Marquardt para mínimos cuadrados;
  • Ecuación de Kepler E − e·sin E = M para mecánica celeste.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

¿Por qué Newton converge cuadráticamente?

Expandiendo f en serie de Taylor alrededor de una raíz simple α y sustituyendo en la fórmula iterativa se obtiene e_{n+1} ≈ C·e_n² con C = f″(α)/(2f′(α)). Al elevar al cuadrado el error, los dígitos correctos se duplican en cada paso.

¿Qué x₀ elegir para √a?

Para a > 1, x₀ = a/2 o 2^⌈log₂(a)/2⌉ (vía bit-shift) es una buena heurística. Para 0 < a 0 converge; empezar lejos solo cuesta más iteraciones.

¿Y si la derivada es difícil?

Se usa el método de la secante: sustituye f′(x_n) por (f(x_n)−f(x_{n−1}))/(x_n−x_{n−1}). Orden ≈ 1,618. Alternativa: diferenciación automática, que calcula f′ exactamente desde el código de f.

¿Por qué una raíz doble converge solo linealmente?

Cerca de α doble, f(x) ≈ A(x−α)² y f′(x) ≈ 2A(x−α), así f/f′ ≈ (x−α)/2. La iteración se vuelve x_{n+1} ≈ ½·(x_n+α), que divide el error por 2 en lugar de elevarlo al cuadrado.

¿Vale para sistemas no lineales?

Sí, en forma vectorial. Para F: ℝⁿ→ℝⁿ la iteración es x_{n+1} = x_n − J(x_n)⁻¹F(x_n) con J la matriz Jacobiana. En la práctica se resuelve J·Δ = −F y se actualiza x+Δ sin invertir J explícitamente.

¿Cuántos bits de precisión tras 10 iteraciones?

Con convergencia cuadrática ideal desde 1 bit, en 10 pasos se alcanzan 2¹⁰ = 1024 bits, muy por encima de los 53 de un double. En la práctica la última iteración no mejora más allá de la precisión máquina y el criterio |Δx| < tol detiene el algoritmo.

¿Se puede usar para mínimos?

Sí, aplicándolo al gradiente: ∇f = 0 se convierte en x_{n+1} = x_n − H(x_n)⁻¹∇f(x_n), con H la Hessiana. Es la base de los métodos Newton y cuasi-Newton (BFGS, L-BFGS) en machine learning y optimización.

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