Cómo calcular el scattering elástico de Mott electrón-núcleo

Calcula la sección eficaz diferencial dσ/dΩ del scattering elástico de Mott electrón-núcleo (Sir Nevill Mott Cambridge 1929). Z=79 oro, factor cos²(θ/2) — JLab Hall A INFN-Roma, INFN-LNF Frascati.

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La calculadora de scattering de Mott determina la sección eficaz diferencial del scattering elástico relativista de un electrón sobre un núcleo, según la fórmula de Mott: dσ/dΩ = (Z² α² (ℏc)² / 4 p² β²) · cos²(θ/2) / sin⁴(θ/2). Desarrollada por Sir Nevill Francis Mott (Universidad de Cambridge 1929 + Bristol 1933) en "The scattering of fast electrons by atomic nuclei" Proc. Roy. Soc. A 124:425, generaliza el clásico scattering de Rutherford 1911 incluyendo efectos relativistas y de espín 1/2. El factor cos²(θ/2) distingue Mott de Rutherford: para back-scattering (θ=180°) la sección es cero — los electrones de Dirac no pueden cambiar completamente dirección conservando espín. Mott ganó el Nobel 1977 con Anderson y Van Vleck por estudios sobre sólidos no-cristalinos (Mott insulator).

1. Fórmula de Mott 1929

La sección diferencial completa: dσ/dΩ = (Z² α² (ℏc)² / 4 p² β²) · cos²(θ/2) / sin⁴(θ/2), con Z número atómico target, α ≈ 1/137, p momento electrón en MeV/c, β = v/c, θ ángulo de scattering. Límite no-relativista (β << 1) recupera Rutherford 1911. El factor cos²(θ/2) deriva de la conservación espín Dirac: a θ=180° se anula. Para núcleos extendidos añadir factor de forma F(q²).

2. Parámetros típicos y targets frecuentes

  • Hidrógeno H: Z=1, target primario, sensible al protón, JLab G_E^p, G_M^p.
  • Carbono C: Z=6, target ligero, scattering quasi-elástico.
  • Oxígeno O: Z=8, doblemente mágico Z=8.
  • Aluminio Al: Z=13, target medio-ligero.
  • Hierro Fe: Z=26, doblemente mágico N=Z=28.
  • Oro Au: Z=79, target clásico Rutherford-Mott.
  • Plomo Pb: Z=82, doblemente mágico, ²⁰⁸Pb estable.
  • Uranio U: Z=92, target más pesado estable.

3. Rango de validez de Mott

La fórmula vale para scattering elástico puro de electrones sobre núcleos punto-masa. Límites: (a) Núcleo extendido: a q > 100 MeV/c, λ_dB < R_N ≈ 1,2 A^(1/3) fm. Factor de forma F(q²). (b) Excitación inelástica: por encima del umbral 5-10 MeV. (c) Bremsstrahlung: a alta energía. (d) Distorsión Coulomb: para Z grande (>50), correcciones Born fallan, partial wave analysis. (e) DIS: a Q² > 1 GeV², regime parton, Mott no vale.

4. Ejemplos numéricos resueltos

Ejemplo 1 — Electrón 100 MeV sobre Au (Z=79) a θ=60°. p = 100,5 MeV/c. β = 0,9999. dσ/dΩ_Mott ≈ 1,28 mb/sr. Target clásico Geiger-Marsden 1909.

Ejemplo 2 — Electrón 1 GeV sobre Pb (Z=82) a θ=30°. p ≈ 1000 MeV/c. dσ/dΩ_Mott ≈ 4,1 mb/sr. JLab Hall A midió ²⁰⁸Pb a 1 GeV → factor de forma F(q²) y densidad nuclear ρ(r).

Ejemplo 3 — Electrón 10 MeV sobre H (Z=1) a θ=90°. p ≈ 10,5 MeV/c. dσ/dΩ_Mott ≈ 18 nb/sr. Pequeñísima sección (Z=1), JLab alta luminosidad.

5. Experimentos italianos con scattering Mott

  • JLab Hall A INFN-Roma colaboración: scattering electrones 5-12 GeV sobre H, He-3, He-4, Pb. Mide G_E^p, G_M^p, G_E^n, G_M^n. Roma La Sapienza grupos fuertes desde 1994.
  • INFN-LNF Frascati DAFNE 1999: e+e- 510 MeV phi-mesones, también scattering fixed-target.
  • Mainz MAMI Alemania (participación italiana): 855 MeV cw electrón beam, A1/A4 Compton + parity-violating.
  • BlueCRAB ALS Berkeley + ELI-NP Magurele (INFN partner): laser-driven GeV-class.
  • Pancini-Conversi-Piccioni Roma 1947: primera medida sección electrón-muón (mesotrón).
  • JLab CEBAF 12 GeV upgrade 2014: parity-violating electrones sobre Pb (PREX-2 2019), neutrón skin.
  • EIC Brookhaven 2030: 100 GeV electrones sobre núcleos, participación INFN-Genova + INFN-Roma.
  • Cineca Bologna 1969 Marconi100 + Leonardo HPC 250 PFlops + INFN-CNAF + BSC Barcelona: Monte Carlo Geant4 + GEMC + EIC simulación Mott kernel.

6. Comparación con otras fórmulas de scattering

Mott 1929: electrón sobre núcleo, relativista, factor cos²(θ/2). Rutherford 1911: alpha sobre núcleo, no-relativista. Klein-Nishina 1929: fotón sobre electrón (Compton), QED relativista. Compton 1923: límite no-relativista. Bhabha 1936: e+e-, calibración LEP. Møller 1932: e-e- elástico, test paridad SLAC E158. DIS Bjorken-Feynman 1969: deep inelastic, parton model. Hofstadter form factor 1956: electrón sobre núcleos extendidos, Nobel 1961. QED Schwinger-Tomonaga-Feynman 1948: correcciones α^n.

7. Desarrollos y correcciones modernas

Las correcciones modernas incluyen: Hofstadter form factors (Stanford 1956 Nobel 1961), Sachs G_E G_M, Two-photon exchange (TPE) Guichon-Vanderhaeghen 2003, Higher-order QED, GPDs Müller-Robaschik-Geyer 1994 (DVCS), Lattice QCD RBC/UKQCD + INFN Pisa Cnaf. Software: SIMC JLab, GEMC, Geant4 CERN, FLUKA CERN-INFN, MadGraph, Pythia. HPC: Cineca Leonardo 250 PFlops + INFN-CNAF + BSC Barcelona. Experimentos futuros: EIC Brookhaven 2030, JLab 22 GeV upgrade, MOLLER SLAC.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

¿Qué es el scattering de Mott?

El scattering de Mott es el scattering elástico relativista de un electrón sobre un núcleo, descrito por dσ/dΩ = (Z² α² (ℏc)² / 4 p² β²) · cos²(θ/2)/sin⁴(θ/2). Desarrollado por Sir Nevill Mott (Cambridge 1929 + Bristol 1933) como generalización relativista de Rutherford 1911. El factor cos²(θ/2) deriva de conservación espín Dirac. Mott Nobel 1977 (por Mott insulator).

¿Cuál es la diferencia entre Mott y Rutherford?

Rutherford 1911 vale para partículas alpha (sin espín) no-relativistas, σ ∝ 1/(sin⁴(θ/2)·E²). Mott 1929 extiende a electrones relativistas con espín 1/2: añade el factor cos²(θ/2) que se anula a θ=180° (back-scattering). Para E < 1 MeV β < 100 MeV efectos relativistas dominan.

¿Cómo se calcula la sección total Mott?

Tiene singularidad a θ=0 (forward): ∫(cos²(θ/2)/sin⁴(θ/2)) sin θ dθ diverge logarítmicamente. Se introduce cutoff θ_min > 0 (físicamente: apantallamiento Coulomb atómico para |b| > a_Bohr). Para Au a 100 MeV con θ_min=1°: σ_tot ≈ 100 b. Para aplicaciones reales (espesor target): σ efectiva.

¿Qué son los factores de forma nucleares?

Para núcleos extendidos (R_N ≈ 1,2 A^(1/3) fm) la fórmula Mott debe multiplicarse por |F(q²)|², donde F(q²) es el factor de forma de Sachs G_E G_M (Hofstadter 1956 Nobel 1961). Para protón: G_E^p ≈ G_M^p/μ_p ≈ (1+q²/0,71 GeV²)⁻². Medido JLab Hall A 5-12 GeV, EIC Brookhaven 2030 alcanzará 100 GeV electrón-ion.

¿Cuál es el límite de alta energía de Mott?

A E_e > 5 GeV los electrones resuelven los quarks dentro del protón (deep inelastic scattering DIS), no más elástico. Bjorken-Feynman 1969 introdujo x_B (fracción momento parton) y Q² (cuadrimomento transferido). Bjorken scaling F2(x,Q²) → F2(x) a alto Q² confirma existencia de quarks. Nobel 1990 Friedman-Kendall-Taylor SLAC.

¿Qué experimentos italianos usan Mott scattering?

JLab Hall A INFN-Roma colaboración (G_E^p, G_M^p protón form factor), Mainz MAMI (paridad-violante PREX-2), Cineca Bologna 1969 Leonardo HPC 250 PFlops Monte Carlo Geant4/GEMC, Pancini-Conversi-Piccioni Roma 1947 histórico, EIC Brookhaven 2030 con INFN-Genova + INFN-Roma + INFN-Frascati participación (electrón-ion collider).

¿Qué fue el Mott Nobel 1977?

Sir Nevill Mott ganó el Nobel 1977 con Philip Anderson y John Van Vleck por 'estructura electrónica de sistemas magnéticos y desordenados' (Mott insulator, vidrios de espín, semiconductores amorfos), NO por la fórmula de 1929 (aunque sigue siendo fundamental). Mott estuvo en Bristol en los 30, luego Cambridge desde 1954. Su fórmula de 1929 es uno de los pilares de la física nuclear moderna.

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