Calculadora Distancia Manhattan (L1, Geometría Taxicab)

Calculadora distancia Manhattan L1: 2D, 3D y N-dim, geometría taxicab, comparacion con normas Lp, aplicaciones machine learning con regresion robusta.

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Distancia Manhattan (L1)

Distancia Manhattan (L1, taxicab) entre A = (a_1, ..., a_n) y B = (b_1, ..., b_n):

d_1(A, B) = sum |a_i - b_i|

Suma de valores absolutos de diferencias coordinadas. Modela distancia caminando en cuadricula como Manhattan (NYC).

Origen: cuadricula Manhattan

Manhattan tiene planimetria ortogonal. Caminar de (3rd Ave, 5th St) a (5th Ave, 8th St): 2 bloques este + 3 norte = 5 bloques. Diagonal euclidea sqrt(13) no transitable.

Fórmulas

  • 2D: d_1 = |x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|.
  • 3D: d_1 = sum tres absolutos.
  • N-D: d_1 = sum |a_i - b_i|.

Geometría taxicab

  • Circulos: ROMBOS inclinados.
  • pi taxicab = 4 (vs 3.14159 euclideo).
  • Suma ángulos triangulo puede exceder pi.
  • "Isosceles L1" no L2.

Comparación con Euclidea

A=(0,0), B=(3,4): Manhattan=7, Euclidea=5, Chebyshev=4. ||x||_inf <= ||x||_2 <= ||x||_1 <= sqrt(n) ||x||_2.

Robustez outliers

L1 MAS ROBUSTA. Outliers penalizados lineal vs cuadraticamente. Estimadores L1 (mediana) mas robustos que L2 (media).

Sparsidad

L1 induce SPARSIDAD: muchos coeficientes a cero exacto. Lasso (Tibshirani 1996), L1-SVM, compressed sensing (Donoho-Tao-Candes 2006), total variation.

Aplicaciones

  • Robotica: A* heuristica Manhattan.
  • Computer Visión: Sobel L1.
  • ML: regresión robusta, Lasso, sparse.
  • VLSI: routing.
  • Bioinformatica.
  • Compresión diferencial.
  • Audio: spectral metrics.

Algoritmos relacionados

A* grid rectangular: Manhattan admisible, garantiza optimalidad. Diagonales: Chebyshev. Continuo: Euclidea.

Circulos taxicab

Rombos inclinados. Dos circulos pueden intersectar 0, 1, 2 o INFINITOS puntos. Tales falla forma standard. Krause 1973 formaliza, Minkowski geometría.

Sparsidad Lasso

min L1 + obj. Coefficiente "no relevante" -> zero exacto. Feature selection automatica.

Historia

Minkowski 1864-1909 geometrias metricas. Krause 1973 taxicab. Tibshirani 1996 Lasso. Donoho-Tao-Candes 2006 compressed sensing.

La eleccion de la metrica en machine learning

La distancia Manhattan no es solo una curiosidad geometrica: la eleccion entre L1 y L2 afecta concretamente el comportamiento de los algoritmos de aprendizaje. En k-nearest neighbors y en el clustering k-means la metrica determina la forma de los vecindarios y los clusters. La distancia euclidea produce esferas, la Manhattan produce rombos alineados a los ejes, y esto cambia que puntos se consideran similares, sobre todo cuando las dimensiones tienen significados distintos.

Un fenomeno contraintuitivo surge en alta dimension, la llamada maldicion de la dimensionalidad: al crecer el numero de dimensiones las distancias euclideas tienden a concentrarse, haciendo todos los puntos casi equidistantes y poco informativos. Estudios han mostrado que las normas con exponente mas bajo, como L1 o incluso las normas fraccionarias con p menor que 1, preservan mejor el contraste entre cercano y lejano. Por eso en contextos de altisima dimension la Manhattan suele preferirse a la euclidea.

Manhattan en el mundo real: VLSI, routing y logistica

La distancia Manhattan es la metrica natural dondequiera que el movimiento este restringido a una cuadricula. En el diseno de circuitos integrados (VLSI) las pistas de conexion corren a lo largo de direcciones ortogonales en capas superpuestas: la longitud de los hilos se estima justamente con la distancia Manhattan, y minimizarla reduce retardo y consumo. Los algoritmos de routing en chip, como el arbol de Steiner rectilineo, optimizan interconexiones medidas en esta metrica.

Lo mismo vale para la logistica y la robotica en cuadricula. Los almacenes automatizados mueven los robots a lo largo de pasillos ortogonales, y la distancia Manhattan estima el tiempo de recorrido mejor que la linea recta. En los algoritmos de busqueda de camino, como A*, la distancia Manhattan es la heuristica admisible estandar para cuadriculas con movimientos solo horizontales y verticales, garantizando el camino optimo. Desde la planificacion urbana a los videojuegos de tablero, esta metrica describe el coste real de moverse en un mundo de bloques.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

Que es la distancia de Manhattan?

Es la distancia L1 entre dos puntos, calculada como la suma de los valores absolutos de las diferencias de coordenadas: |x2-x1| + |y2-y1|. Representa el camino minimo en una ciudad en cuadricula, donde uno se mueve solo por calles ortogonales, sin cortar en diagonal.

Por que se llama distancia de Manhattan?

Del barrio de Manhattan en Nueva York, con su caracteristica cuadricula regular de calles. Un taxi que va de un punto a otro debe seguir las calles norte-sur y este-oeste, recorriendo exactamente la distancia L1. Por eso se llama tambien distancia taxicab o city block.

Que diferencia hay con la distancia euclidea?

La distancia euclidea (L2) mide la linea recta entre dos puntos, raiz de la suma de cuadrados de las diferencias. La Manhattan (L1) suma los valores absolutos. La Manhattan es siempre mayor o igual que la euclidea, hasta un factor raiz(n) en n dimensiones.

Que es la geometria taxicab?

Es la geometria que usa la distancia Manhattan en vez de la euclidea. En ella los "circulos" (lugares a distancia constante) son cuadrados girados 45 grados, el pi vale 4 en vez de 3,14, y los triangulos tienen propiedades distintas. Introducida didacticamente por Krause en los anos setenta.

Por que la Manhattan es robusta a los outliers?

Porque suma valores absolutos en vez de cuadrados: un error grande en una sola dimension contribuye linealmente, no cuadraticamente. Asi un punto anomalo influye menos en el resultado global, haciendo la L1 preferible cuando los datos contienen valores extremos o ruido.

Por que la norma L1 induce sparsidad?

Porque su bola unitaria es un rombo con los vertices en los ejes: en la minimizacion las soluciones tienden a "tocar" esos vertices, donde muchas coordenadas son exactamente cero. Es el principio del Lasso y del compressed sensing, que usan L1 para obtener modelos con pocos parametros no nulos.

Cuando conviene usar Manhattan en vez de euclidea?

Cuando el movimiento esta restringido a una cuadricula (ciudades, circuitos, robots en pasillos), cuando los datos contienen outliers a atenuar, cuando se necesita sparsidad (Lasso), o en altisima dimension, donde la L1 preserva mejor el contraste entre distancias que la euclidea.

Donde se usa en la practica?

En diseno de circuitos VLSI para estimar la longitud de hilos, en robotica y logistica en cuadricula, en la heuristica del algoritmo A* para pathfinding, en machine learning (k-NN, clustering, regresion Lasso) y en videojuegos de tablero. Dondequiera que el coste del movimiento sea rectilineo.

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