Calculadora Transformacion de Lorentz (4-vectores)

Calculadora transformacion de Lorentz: boost en 4-vectores, composicion velocidades relativista, invariante s^2, rapidez eta y matriz Lorentz SO(1,3).

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Las transformaciones de Lorentz

Introducidas por Lorentz en 1895-1904, reinterpretadas por Einstein en 1905. Grupo de simetrias fundamental del espacio-tiempo de Minkowski. Transforman coordenadas (t, x, y, z) entre referentes inerciales, preservando c e invariante s^2 = c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2.

Boost a lo largo del eje x

t' = gamma (t - v x/c^2)

x' = gamma (x - v t)

y' = y, z' = z. Con gamma = 1/sqrt(1 - v^2/c^2).

Composición velocidades

v_tot = (v_1 + v_2)/(1 + v_1 v_2/c^2). Garantiza v_tot <= c siempre. Para v_2 = c: v_tot = c (invariancia luz).

Rapidez eta

eta = arctanh(v/c) = (1/2) ln((1+beta)/(1-beta)). Propiedades: v = c tanh(eta), gamma = cosh(eta), gamma beta = sinh(eta). Aditiva para boosts multiples: eta_tot = eta_1 + eta_2.

Matriz Lambda

Lambda = [[gamma, -gamma beta, 0, 0], [-gamma beta, gamma, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]]. det = 1. Grupo SO(1, 3) con 6 parámetros (3 boost + 3 rotaciones).

Invariante espacio-tiempo

  • s^2 > 0: time-like, alcanzable.
  • s^2 < 0: space-like, causalmente disjunto.
  • s^2 = 0: light-like, cono de luz.

Cinco modalidades

  1. Boost en 4-vector.
  2. Composición velocidades.
  3. Invariante s^2.
  4. Rapidez eta.
  5. Matriz Lambda explicita.

Contexto historico

Hendrik Lorentz (1853-1928) propuso las transformaciones en 1895-1904 como ajuste matematico para explicar el experimento Michelson-Morley. Einstein (1905) les dio interpretación física fundamentale. Minkowski (1908) estableci el concepto geométrico di spaziotempo unificato. Poincare contribui' significativamente en 1905. Premio Nobel a Lorentz 1902 (prima di relativita').

Aplicaciones

  • Física partículas: LHC, Tevatron cinematica colisiones.
  • Astrofisica: jets relativistas AGN, GRBs, pulsars.
  • Cosmologia: redshift galaxias lejanas, expansión universo.
  • GPS: correcciones precisión posicionamiento con relojes atomicos.
  • Electromagnetismo: transformación campos E y B entre sistemas.
  • Física nuclear: decaimientos partículas ultra-energeticas, muones cosmicos.

Dilatacion del tiempo y contraccion de longitudes

Las dos consecuencias mas famosas de las transformaciones de Lorentz se siguen directamente del factor gamma. La dilatacion del tiempo afirma que un reloj en movimiento a velocidad v mide intervalos mas largos vistos desde el sistema en reposo: Delta t = gamma Delta tau, donde Delta tau es el tiempo propio medido en el referencial del reloj. La contraccion de longitudes afirma lo contrario para el espacio: una regla de longitud propia L_0 aparece contraida a L = L_0 / gamma en la direccion del movimiento. Ambos efectos son reales y simetricos entre observadores inerciales.

A velocidades cotidianas gamma difiere de 1 en una parte entre mil billones, por lo que los efectos son imperceptibles; pero para particulas relativistas dominan. Los muones producidos en la alta atmosfera llegan al suelo precisamente porque su tiempo de desintegracion se dilata desde nuestro punto de vista, o, en su referencial, porque la atmosfera se contrae: dos descripciones equivalentes del mismo fenomeno.

De Maxwell a Einstein (1905)

Las transformaciones llevan el nombre de Hendrik Lorentz, que las introdujo hacia 1900 como recurso matematico para explicar por que las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo mantenian la misma forma pese a que el experimento de Michelson-Morley no detectaba el eter. Henri Poincare esclarecio su estructura de grupo. Fue sin embargo Albert Einstein quien en 1905 las dedujo de solo dos postulados fisicos: el principio de relatividad y la invariancia de la velocidad de la luz, abandonando por completo el eter.

En la lectura de Einstein las transformaciones no son un truco sino la geometria misma del espacio-tiempo: tiempo y espacio se mezclan porque comparten una unica estructura tetradimensional, formalizada por Hermann Minkowski en 1908. La velocidad de la luz c aparece como la constante de conversion entre unidades de tiempo y espacio, y el limite infranqueable que ningun boost puede superar, razon por la que el calculador limita siempre las velocidades a valores inferiores a c.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

Que son las transformaciones de Lorentz?

Son las ecuaciones que relacionan las coordenadas espacio-temporales (t, x) de un mismo evento medidas por dos observadores inerciales en movimiento relativo. Sustituyen a las transformaciones galileanas de la mecanica clasica y garantizan que la velocidad de la luz sea la misma para todos los observadores.

Que es el factor gamma de Lorentz?

Es gamma = 1/raiz(1 - v^2/c^2), siempre mayor o igual que 1, que cuantifica todos los efectos relativistas. A bajas velocidades vale aproximadamente 1 y la fisica vuelve a ser newtoniana; al acercarse a c tiende a infinito, haciendo la dilatacion del tiempo y la contraccion de longitudes cada vez mas marcadas.

Que es el invariante espacio-tiempo?

Es la cantidad s^2 = c^2 t^2 - x^2, que tiene el mismo valor para todos los observadores inerciales aunque t y x cambien entre ellos. Su signo clasifica la separacion entre eventos: s^2 > 0 de tipo tiempo (causalmente conectados), s^2 < 0 de tipo espacio, s^2 = 0 sobre el cono de luz.

Como se suman las velocidades en relatividad?

No con la simple adicion galileana sino con la formula de Einstein u_tot = (u + v)/(1 + u v/c^2). El denominador garantiza que el resultado nunca supere c: componiendo cualquier velocidad con c se recupera exactamente c, coherente con la invariancia de la velocidad de la luz.

Que es la rapidez?

Es la variable eta = arctanh(v/c) = (1/2) ln((1+beta)/(1-beta)) que parametriza los boosts. Su ventaja es la aditividad: boosts sucesivos en la misma direccion tienen rapideces que simplemente se suman, mientras que las velocidades no. Se cumple gamma = cosh(eta) y gamma*beta = sinh(eta).

Que es la dilatacion del tiempo?

Es el efecto por el cual un reloj en movimiento mide intervalos mas largos vistos desde el referencial en reposo: Delta t = gamma Delta tau, con Delta tau el tiempo propio. Confirmado por los muones atmosfericos y los relojes atomicos en vuelo, muestra que el tiempo no es absoluto sino que depende del estado de movimiento.

Quien formulo estas transformaciones?

Fueron introducidas por Hendrik Lorentz hacia 1900 y esclarecidas por Poincare, pero Albert Einstein en 1905 las dedujo de solo dos postulados fisicos, abandonando el eter. Hermann Minkowski en 1908 dio la interpretacion geometrica como rotaciones hiperbolicas del espacio-tiempo.

Por que la velocidad no puede superar c?

Porque el factor gamma diverge cuando v tiende a c: haria falta energia infinita para acelerar una masa hasta la velocidad de la luz. Las transformaciones mismas se vuelven singulares en v = c, y la formula de composicion impide superar c sumando velocidades. c es el limite invariante de la relatividad.

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