Cómo calcular distribución lognormal PDF CDF media

Calcula distribución lognormal PDF, CDF, media, mediana, moda, varianza, skewness. ln X ~ N(mu, sigma^2). Galton-McAlister 1879 Royal Society. Modela ingresos, partículas aerosol, ciudades Pareto, fiabilidad, Black-Scholes movimiento browniano.

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Cómo calcular la distribución lognormal: distribución de probabilidad continua para variable aleatoria X positiva (X > 0) cuyo logaritmo natural ln X sigue distribución normal N(mu, sigma²). Fórmula PDF: f(x; mu, sigma) = (1 / (x * sigma * sqrt(2*pi))) * exp(-(ln x - mu)² / (2 * sigma²)). Parámetros: mu media logarítmica E[ln X]; sigma desviación estándar logarítmica. CDF: F(x) = Phi((ln x - mu) / sigma). Estadísticas: media E[X] = exp(mu + sigma²/2), mediana = exp(mu), moda = exp(mu - sigma²), varianza = (exp(sigma²) - 1) * exp(2*mu + sigma²), CV = sqrt(exp(sigma²) - 1). Historia: Francis Galton (UK 1822-1911) Cambridge + Donald McAlister (UK 1854-1934) Cambridge 1879 paper Proceedings Royal Society 29:365 'The Geometric Mean in Vital and Social Statistics'. Robert Gibrat (Francia 1904-1980) 1931 Gibrat law proporcionado. Aitchison-Brown 1957 Cambridge University Press monografía. España estadística investigación: INE Instituto Nacional Estadística Madrid 1945 fundado 4000 employees national statistics bureau Censo decennale Encuesta Población Activa EPA Encuesta Condiciones Vida ECV; Banco España Madrid 1782 fundado central bank statistics; SEIO Sociedad Estadística Investigación Operativa Madrid 1962; CIS Centro Investigaciones Sociológicas Madrid 1963 sondeos opinion;

FEDEA Fundación Estudios Economía Aplicada Madrid 1985; Banco España Encuesta Financiera Familias EFF wealth distribution; Universidad Complutense Madrid 1293 Facultad CC Económicas Estadística; Universidad Carlos III Madrid 1989 Facultad Estadística top ranking; Universidad Pompeu Fabra Barcelona 1990 CREI Centre Research International Economics; Universidad Barcelona 1450; UPF Barcelona economics; UAM Universidad Autónoma Madrid 1968; Universidad Salamanca 1218 oldest. España estadísticos historia: Severo Ochoa (España-USA 1905-1993) NYU Madrid Premio Nobel Medicina 1959 enzima síntesis ácidos nucleicos; Ramón y Cajal (España 1852-1934) Madrid Premio Nobel Medicina 1906 sistema nervioso histología; Mario Molina (Mexico-USA-España 1943-2020) Premio Nobel Química 1995. España distribuciones económicas: ingresos 2024 INE Madrid mediana hogares 28000 EUR netos; renta media 36000 EUR (skewed lognormal); top 10% > 70000 EUR; PIB per cápita 28000 EUR; Banco España Encuesta Financiera Familias EFF biennale; índice Gini 2024 0.32; ciudades Madrid 3.3M Barcelona 1.6M Valencia 800k Sevilla 690k Zaragoza 670k Málaga 580k Murcia 460k Palma 410k Las Palmas 380k Bilbao 350k.

Fórmula lognormal

PDF: f(x; mu, sigma) = (1 / (x * sigma * sqrt(2*pi))) * exp(-(ln x - mu)² / (2 * sigma²)) para x > 0. Parámetros mu media logarítmica; sigma > 0 desviación logarítmica. mu NO es la media distribución (media es exp(mu+sigma²/2)). Note factor 1/x cambio variable y=ln x.

CDF: F(x) = Phi((ln x - mu) / sigma). Survival S(x) = 1 - F(x). Inverse CDF (cuantil): x_p = exp(mu + sigma * Phi^(-1)(p)). España: INE Madrid 1945; Banco España Madrid 1782; CIS Madrid 1963; SEIO Madrid 1962; Universidad Complutense Madrid 1293 oldest Madrid; Carlos III Madrid 1989 top ranking estadística; Pompeu Fabra Barcelona 1990 CREI economics.

Momentos: media exp(mu+sigma²/2); mediana exp(mu); moda exp(mu-sigma²). Siempre moda<mediana<media (right-skewed). Varianza (exp(sigma²)-1)*exp(2*mu+sigma²). CV=sqrt(exp(sigma²)-1) depende sólo sigma. Skewness siempre positiva. Excess kurtosis siempre positiva (heavy tails).

Historia y contexto

Francis Galton (UK 1822-1911) Cambridge eugenética estadística. Donald McAlister (UK 1854-1934) Cambridge medicina. 1879 paper Proceedings Royal Society 29:365. Robert Gibrat 1931 Gibrat law proporzionato. Aitchison-Brown 1957 Cambridge. España estadística historia: INE Instituto Nacional Estadística Madrid 1945 fundado 4000 empleados national statistics bureau Censo decennale anteriormente INA Instituto Nacional Estadística 1856 fundado primera versione; Encuesta Población Activa EPA trimestral; Encuesta Condiciones Vida ECV anual UE-SILC European Union Survey Income Living Conditions; Censo Población Vivienda decennale; Estadística Padrón continuo Habitantes; Indicadores Sociales Demográficos. Banco España Madrid 1782 fundado central bank Encuesta Financiera Familias EFF biennale wealth distribution; Banco Pagos Internacionales BIS Basilea statistical contributions España. España nobel historia: Severo Ochoa (España-USA 1905-1993) Madrid Universidad Complutense Facultad Medicina 1929 graduado, NYU Premio Nobel Medicina 1959 enzima síntesis ácidos nucleicos compartido Arthur Kornberg; Santiago Ramón y Cajal (España 1852-1934) Madrid Universidad Premio Nobel Medicina 1906 sistema nervioso histología neurociencias pioneer compartido Camillo Golgi Italia; Mario Molina (Mexico-USA-España 1943-2020) Premio Nobel Química 1995 estratosfera ozono CFC.

España universidades estadística: Universidad Complutense Madrid 1293 oldest Madrid Facultad CC Económicas Empresariales Estadística; Universidad Carlos III Madrid 1989 Facultad Estadística top ranking España + Europa; Universidad Pompeu Fabra Barcelona 1990 CREI Centre Research International Economics + ICREA Catalan Institute Research Advanced Studies; Universidad Barcelona 1450 Facultad CC Económicas; UAM Universidad Autónoma Madrid 1968 Facultad CC Económicas; Universidad Salamanca 1218 oldest Spanish university; Universidad Granada 1531; Sevilla 1505; Valencia 1499; Politécnica Madrid 1971 Facultad Informática Estadística. España agencias estadísticas: INE Madrid 1945; Banco España Madrid 1782; CIS Centro Investigaciones Sociológicas Madrid 1963 sondeos opinion política barómetro mensual; FEDEA Fundación Estudios Economía Aplicada Madrid 1985; CSIC Madrid 1939; Eurostat Luxembourg European statistics agency contributions España; AEAT Agencia Estatal Administración Tributaria Madrid hacienda statistics; AEMPS Agencia Española Medicamentos Madrid; ISCIII Instituto Salud Carlos III Madrid 1986; AEMET Agencia Estatal Meteorología Madrid; IGN Instituto Geográfico Nacional Madrid 1870. Ciudades España población 2024 INE: Madrid 3.3M largest; Barcelona 1.6M; Valencia 800k; Sevilla 690k; Zaragoza 670k; Málaga 580k; Murcia 460k; Palma 410k; Las Palmas 380k; Bilbao 350k Vasco País Basque. España industria estadística software: SAS España Madrid;

SPSS España Madrid; Stata España; Wolfram Research Madrid; R Foundation España chapter R-Hispano; Python Madrid PyData España.

Tabla valores lognormal

  • Soporte X: x > 0 siempre positiva
  • Parámetro mu: location media logarítmica
  • Parámetro sigma: scale > 0 desviación log
  • Media E[X]: exp(mu + sigma²/2)
  • Mediana: exp(mu) percentil 50
  • Moda: exp(mu - sigma²)
  • Varianza: (exp(sigma²) - 1) * exp(2*mu + sigma²)
  • CV: sqrt(exp(sigma²) - 1)
  • Skewness: (exp(sigma²) + 2) * sqrt(exp(sigma²) - 1)
  • Sigma 0.1: ~ normal CV=10%
  • Sigma 0.25: narrow CV=25.4%
  • Sigma 0.5: moderate CV=53.4%
  • Sigma 1.0: wide CV=131%
  • Sigma 2.0: extreme CV=731%
  • Galton 1879 paper: Royal Society 29:365
  • Aitchison-Brown 1957: Cambridge monografía
  • Gibrat 1931: ley crecimiento proporcional
  • Black-Scholes 1973: stocks Brownian motion
  • España población 2024: 48.6 millones INE
  • España Madrid población: 3.3M largest
  • España Barcelona población: 1.6M
  • España Valencia población: 800k
  • España Sevilla población: 690k
  • España mediana ingresos 2024: 28k EUR netos
  • España renta media 2024: 36k EUR netos
  • España top 10% ingresos: > 70k EUR netos
  • España PIB per cápita 2024: 28k EUR
  • España Gini 2024: 0.32 INE
  • España INE Madrid 1945: 4000 empleados
  • España Banco España 1782: central bank
  • España CIS Madrid 1963: sondeos opinion
  • España SEIO Madrid 1962: sociedad estadística
  • España Complutense Madrid 1293: Facultad CC Económicas
  • España Carlos III Madrid 1989: top ranking estadística
  • España Pompeu Fabra Barcelona 1990: CREI economics

Ejemplos numéricos

Ejemplo 1 - Ingresos hogares España. Distribución ingresos hogares 2024 INE Madrid lognormal aprox mu=10.6 (e^10.6 ~ 40000 EUR mediana), sigma=0.5. P(X=50000): z=0.45. PDF=4.5e-6. CDF Phi(0.45)=0.67 → 67% bajo 50k EUR. Media exp(10.6+0.125)=45000; mediana 40000; moda exp(10.35)=31500. España: INE Madrid 1945 ECV Encuesta Condiciones Vida; Banco España EFF.

Ejemplo 2 - PM2.5 aerosol atmosférico. Distribución partículas aerosol Hatch-Choate 1929. mu=0.5, sigma=0.7. x=2.5 µm. CDF=0.72 → 72% bajo 2.5 µm. España: AEMET Madrid; Ministerio Transición Ecológica MITECO Madrid; protocolo aire calidad NORMATIVA UE PM2.5 < 25 µg/m³ annual UE.

Ejemplo 3 - Farmacocinética drug plasma. Cmax post-oral lognormal variabilidad inter-individual. mu=4.5 sigma=0.3. x=100 ng/mL. CDF=0.64. España: AEMPS Madrid drug regulator; ISCIII Madrid 1986; SEFAC Sociedad Española Farmacia Comunitaria Madrid; SEFH Hospitalaria Madrid.

Ejemplo 4 - Fiabilidad tiempo fallo. Lifetime electrónica lognormal. mu=6.9 sigma=1.2. x=1000 horas. CDF=0.5 mediana. Media 2050 horas. España: ICEX Instituto Comercio Exterior Madrid; INDESCO; UNE Asociación Española Normalización Madrid 1986; AENOR Asociación Española Normalización Certificación Madrid 1986.

Ejemplo 5 - Tamaños ciudades España Zipf. Poblaciones ciudades España lognormal Zipf aprox. mu=12 sigma=2. x=1 millón. CDF=0.82 → 82% ciudades bajo 1M. España: Madrid 3.3M; Barcelona 1.6M; Valencia 800k; Sevilla 690k; Zaragoza 670k; Málaga 580k; Murcia 460k. INE Madrid 1945 padrón habitantes anual.

Aplicaciones prácticas

  1. Distribución ingresos: lognormal + Pareto cola. España INE Madrid ECV; Banco España EFF.
  2. Aerosol: PM10 PM2.5 Hatch-Choate. España AEMET MITECO.
  3. Farmacocinética: Cmax inter-individual. AEMPS Madrid; ISCIII Madrid.
  4. Fiabilidad: tiempo fallo. UNE AENOR Madrid 1986.
  5. Geología: grain size sedimentos. IGME Instituto Geológico Minero España Madrid 1849.
  6. Finanzas Black-Scholes: stocks Brownian motion. CNMV Comisión Nacional Mercado Valores Madrid 1988; Bolsa Madrid 1831.
  7. Ciudades Zipf: España Madrid Barcelona Valencia.
  8. Allometría biología: Kleiber's law metabolismo.
  9. Ingeniería sísmica: peak ground acceleration. IGN Madrid 1870 sismología; CSIC Geofísica Madrid.
  10. Seguros actuariales: claim sizes heavy-tailed. UNESPA Unión Española Aseguradores Madrid; DGSFP Dirección General Seguros Madrid.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

Qué es la distribución lognormal?

Distribución probabilidad continua para X positiva (X>0) cuyo logaritmo ln X sigue normal N(mu, sigma²). PDF: f(x) = (1/(x*sigma*sqrt(2pi))) * exp(-(ln x - mu)²/(2*sigma²)). Parámetros mu media log; sigma desviación log. Media exp(mu+sigma²/2); mediana exp(mu); moda exp(mu-sigma²). Siempre right-skewed. Galton-McAlister 1879 Royal Society 29:365. España: INE Madrid 1945 4000 empleados; Banco España Madrid 1782; SEIO Madrid 1962; Complutense Madrid 1293; Carlos III Madrid 1989 top estadística; Pompeu Fabra Barcelona 1990 CREI.

Cómo calcular media y mediana lognormal?

Media E[X] = exp(mu + sigma²/2). Mediana = exp(mu). Moda = exp(mu - sigma²). Siempre moda<mediana<media (right-skewed). Ejemplo mu=10.6 sigma=0.5: mediana=40000, media=45000, moda=31500. CV=sqrt(exp(sigma²)-1) depende solo sigma. España: INE Madrid 1945 ECV; Banco España EFF; CIS Madrid 1963 sondeos; AEAT Agencia Tributaria Madrid hacienda statistics; FEDEA Madrid 1985 economics.

Quién derivó la lognormal?

Francis Galton (UK 1822-1911) Cambridge + Donald McAlister (UK 1854-1934) Cambridge 1879 paper Proceedings Royal Society 29:365 'Geometric Mean Vital Social Statistics' original. Robert Gibrat (Francia 1904-1980) 1931 ley proporcional firms. Aitchison-Brown 1957 Cambridge monografía. España estadística histórica: Severo Ochoa (España-USA 1905-1993) NYU Madrid Nobel Medicina 1959; Ramón y Cajal (1852-1934) Madrid Nobel Medicina 1906 histología sistema nervioso; Mario Molina (Mexico-USA-España 1943-2020) Nobel Química 1995 ozono.

Cómo estimar parámetros mu sigma?

MLE procedimiento: (1) transforma y_i = ln x_i; (2) mu_hat = mean(y); (3) sigma_hat = sd(y). De media muestral m, varianza s²: sigma² = ln(1 + s²/m²); mu = ln(m) - sigma²/2. Bondad ajuste Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling, Shapiro-Wilk en log-transformados. Q-Q plot vs normal. Software: R dlnorm; scipy.stats.lognorm; SAS Cary NC; SPSS Chicago 1968; Stata. España: INE Madrid 1945; SEIO Madrid 1962; Carlos III Madrid 1989 estadística.

Qué aplicaciones lognormal?

Aplicaciones: distribución ingresos lognormal + Pareto cola; aerosol PM10 PM2.5 Hatch-Choate 1929; farmacocinética Cmax AUC; fiabilidad tiempo fallo; geología grain size; finanzas Black-Scholes 1973 stocks; ciudades Zipf Madrid Barcelona Valencia Sevilla; seguros actuariales claim sizes UNESPA. España: INE Madrid 1945; AEMET Madrid PM2.5; AEMPS Madrid drug; CNMV Madrid 1988 stocks Bolsa Madrid 1831.

Qué significa skewness positivo lognormal?

Skewness gamma_1 = (exp(sigma²) + 2) * sqrt(exp(sigma²) - 1) siempre positivo (right-skewed). Distribución cola derecha más larga que izquierda. Sigma=0.5: skewness=1.75; sigma=1: 6.18; sigma=2: 414. Excess kurtosis siempre positivo (heavy tails). Sigma pequeña (1) heavy tails pronunciados. España distribución ingresos skewness 1-2 main body; Pareto top 1% cola power-law. INE Madrid 1945; Banco España EFF wealth.

Diferencia lognormal vs normal?

Normal: soporte real (-inf, +inf), simétrica skewness=0, kurtosis=3. Lognormal: soporte positivo (0, +inf), right-asimétrica skewness>0, kurtosis>3 leptokurtic. Transformación: si X lognormal entonces ln X normal. Galton-McAlister 1879. Útil cantidades positivas (ingresos, tamaños). CLT aditivo da normal; CLT multiplicativo da lognormal. España: Universidad Complutense Madrid 1293; Carlos III Madrid 1989 estadística; Pompeu Fabra Barcelona 1990 CREI; UAM Madrid 1968.

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