Calculadora Polinomios de Legendre P_n(x)

Calculadora polinomios de Legendre P_n(x): recurrencia de Bonnet, coeficientes explicitos, raices (nodos Gauss-Legendre), derivadas y normalizacion L^2.

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Los polinomios de Legendre

Los polinomios de Legendre P_n(x), introducidos por Adrien-Marie Legendre en 1782 estudiando el potencial gravitacional de un elipsoide, son una sucesión de polinomios ortogonales en [-1, 1] con peso w(x) = 1. Son fundamentales en física matemática, teoría del potencial, mecánica cuantica y análisis numérico.

Ecuación diferencial

(1 - x^2) * P_n''(x) - 2x * P_n'(x) + n(n+1) * P_n(x) = 0

normalizada por P_n(1) = 1. Surge de separar variables en la ecuación de Laplace en coordenadas esfericas.

Formula de Rodrigues

P_n(x) = (1 / (2^n * n!)) * d^n/dx^n [(x^2 - 1)^n]. P_n es par si n par, impar si n impar.

Recurrencia de Bonnet

(n+1) * P_{n+1}(x) = (2n+1) * x * P_n(x) - n * P_{n-1}(x), con P_0 = 1, P_1 = x. O(n) operaciones, numericamente estable para |x| <= 1.

Primeros polinomios

  • P_0(x) = 1
  • P_1(x) = x
  • P_2(x) = (3x^2 - 1) / 2
  • P_3(x) = (5x^3 - 3x) / 2
  • P_4(x) = (35x^4 - 30x^2 + 3) / 8
  • P_5(x) = (63x^5 - 70x^3 + 15x) / 8

Ortogonalidad

integral_-1^1 P_m * P_n dx = 2/(2n+1) si m = n, 0 si no. Base natural para expansiones: f = Sigma a_n P_n con a_n = (2n+1)/2 integral f P_n dx.

Cinco modalidades

  1. Evaluación P_n(x) via Bonnet.
  2. Secuencia P_0..P_n.
  3. Coeficientes explicitos.
  4. Raices (nodos Gauss-Legendre).
  5. Derivada P_n'(x).

Cuadratura de Gauss-Legendre

Nodos x_k (raices de P_n) y pesos w_k = 2 / ((1-x_k^2) P_n'(x_k)^2) aproximan integrales: integral_-1^1 f(x) dx ~ Sigma w_k f(x_k), exacta para polinomios de grado <= 2n-1.

Aplicaciones

  • Mecánica cuantica: armonicos esfericos, átomo de hidrógeno.
  • Teoría del potencial: expansión multipolar.
  • Análisis numérico: cuadratura Gauss-Legendre.
  • Electromagnetismo: potenciales axisimetricos.
  • Mecánica estadística: particiones esfericas.

Historia de los polinomios de Legendre

Los polinomios fueron introducidos por el matemático francés Adrien-Marie Legendre en 1782, mientras estudiaba la atracción gravitatoria ejercida por cuerpos celestes de forma elipsoidal. Al intentar desarrollar en serie el potencial gravitatorio a distancia, Legendre se topó con una familia de polinomios con notables propiedades de ortogonalidad. Su papel se volvió aún más central con el estudio de los armónicos esféricos y de la ecuación de Laplace, fundamentales en física matemática. Hoy los polinomios de Legendre son una herramienta indispensable en electrostática, mecánica cuántica, geodesia y análisis numérico, y sus raíces dan los nodos óptimos de la cuadratura de Gauss-Legendre. De un problema de mecánica celeste del siglo XVIII nació una de las familias de funciones especiales más usadas de la ciencia.

La función generatriz y las propiedades notables

Una de las características más elegantes de los polinomios de Legendre es su función generatriz: 1/√(1 − 2xt + t²) = Σ Pₙ(x)tⁿ. Desarrollando esta expresión en serie de potencias del parámetro t, los coeficientes son exactamente los polinomios de Legendre. Esta fórmula es la misma que aparece naturalmente en el desarrollo del potencial coulombiano y gravitatorio, lo que explica por qué los polinomios surgen en física. Entre las otras propiedades notables: cada Pₙ vale 1 en x = 1 y (−1)ⁿ en x = −1; los polinomios tienen paridad definida, par para n par e impar para n impar; y todas las n raíces de Pₙ son reales, distintas y contenidas en el intervalo abierto (−1, 1).

Los polinomios de Legendre en física

Los polinomios de Legendre son omnipresentes en la física matemática. En electrostática y gravitación dan el desarrollo en multipolos del potencial de una distribución de carga o masa, separando las contribuciones de monopolo, dipolo, cuadrupolo, etc. Son la parte angular de los armónicos esféricos, soluciones de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas, que describen los modos de vibración de una esfera y los niveles de energía. En mecánica cuántica aparecen en la solución del átomo de hidrógeno y en la teoría del momento angular, donde los números cuánticos orbitales corresponden al grado del polinomio. Aparecen además en geodesia para modelar el campo gravitatorio terrestre y en óptica para las aberraciones de las lentes.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

¿Qué son los polinomios de Legendre?

Son una familia de polinomios ortogonales Pₙ(x), soluciones de la ecuación diferencial de Legendre, definidos en el intervalo [−1, 1]. Los primeros son P₀=1, P₁=x, P₂=(3x²−1)/2, P₃=(5x³−3x)/2. Son fundamentales en física matemática, donde aparecen en los armónicos esféricos, el desarrollo en multipolos de los potenciales y la cuadratura numérica. Forman una base ortogonal para las funciones en el intervalo.

¿Qué es la recurrencia de tres términos de Bonnet?

Es la relación (k+1)Pₖ₊₁(x) = (2k+1)x·Pₖ(x) − k·Pₖ₋₁(x), que permite calcular cada polinomio de Legendre a partir de los dos anteriores, empezando por P₀=1 y P₁=x. Es el método más eficiente y estable para generar la sucesión: evita calcular las derivadas de la fórmula de Rodrigues y permite evaluar rápidamente Pₙ(x) para cualquier grado n y argumento x.

¿Qué es la fórmula de Rodrigues?

Es una fórmula explícita para los polinomios de Legendre: Pₙ(x) = (1/(2ⁿ·n!))·dⁿ/dxⁿ[(x²−1)ⁿ]. En otras palabras, se deriva n veces el polinomio (x²−1)ⁿ y se normaliza. Es elegante teóricamente y útil para demostrar las propiedades de los polinomios, pero poco práctica para el cálculo numérico de alto grado, donde se prefiere la recurrencia de Bonnet.

¿Qué significa que los polinomios sean ortogonales?

Significa que la integral del producto de dos polinomios de Legendre de grado distinto sobre el intervalo [−1, 1] es cero: ∫Pₘ(x)Pₙ(x)dx = 0 para m ≠ n. Para m = n la integral vale 2/(2n+1). Esta ortogonalidad los hace una base ideal para desarrollar una función en serie, análogamente a las series de Fourier con senos y cosenos, y es la clave de su utilidad en física y análisis numérico.

¿Por qué las raíces son los nodos de la cuadratura de Gauss-Legendre?

Porque eligiendo como puntos de evaluación las n raíces de Pₙ, la fórmula de cuadratura resultante integra exactamente todos los polinomios hasta el grado 2n−1, el máximo posible con n puntos. Esta propiedad óptima deriva directamente de la ortogonalidad de los polinomios de Legendre. Las raíces son todas reales y están en (−1, 1), y en torno a ellas se construyen los pesos de la cuadratura gaussiana, uno de los métodos numéricos más precisos.

¿Cuánto vale Pₙ en los extremos del intervalo?

Cada polinomio de Legendre vale exactamente 1 en el punto x = 1: Pₙ(1) = 1 para todo n. En el extremo opuesto vale Pₙ(−1) = (−1)ⁿ, es decir 1 para n par y −1 para n impar. Esta propiedad refleja la paridad de los polinomios: Pₙ es una función par si n es par e impar si n es impar. Son valores notables, usados a menudo para verificar cálculos y en las condiciones de contorno de los problemas físicos.

¿Qué es la función generatriz de los polinomios?

Es la expresión 1/√(1 − 2xt + t²) = Σ Pₙ(x)tⁿ, que genera todos los polinomios de Legendre como coeficientes del desarrollo en potencias de t. Es notable porque es la misma función que aparece en el desarrollo del potencial gravitatorio y electrostático a distancia: de ahí que los polinomios surjan naturalmente en física, en el desarrollo en multipolos y en el cálculo de los potenciales de distribuciones de carga o masa.

¿Quién introdujo los polinomios de Legendre?

Fueron introducidos por Adrien-Marie Legendre en 1782, mientras estudiaba el potencial gravitatorio de cuerpos celestes elipsoidales. Al intentar desarrollar en serie la atracción a distancia, encontró esta familia de polinomios ortogonales. Su papel creció con el estudio de los armónicos esféricos y de la ecuación de Laplace. Hoy son una herramienta estándar en física, geodesia, mecánica cuántica y análisis numérico.

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