Cómo calcular la media geométrica y el CAGR

Calcula la media geométrica G = (x₁·x₂·...·xₙ)^(1/n) y el CAGR (Compound Annual Growth Rate). Tasas de crecimiento, rendimientos financieros, índices biológicos. HM ≤ GM ≤ AM.

Parámetros de cálculo
¿Te ha sido útil esta calculadora?

Cómo calcular la media geométrica y el CAGR permite encontrar la media adecuada cuando los datos representan tasas de crecimiento, rendimientos porcentuales, factores multiplicativos. La fórmula es GM = (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n): la raíz n-ésima del producto. HM ≤ GM ≤ AM (Cauchy 1821). El CAGR (Compound Annual Growth Rate) es aplicación financiera. Sistema español comparable: Banco de España calcula PIB con GM, INE índices precios consumo (IPC) por GM ponderada, supervisión CNMV.

Fórmula y definición

Para n observaciones positivas: GM = (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n). Para dos valores: GM = √(a × b). El CAGR: CAGR = (V_final / V_inicial)^(1/n_años) - 1. Ejemplo: €10.000 → €15.000 en 5 años: CAGR = 8,45%/año.

Historia y aplicaciones

Estudiada por los Pitagóricos (siglo VI a.C.). Cauchy (1821) y Hardy-Littlewood-Pólya (1934) generalizaciones. Aplicaciones modernas: Banco de España calcula PIB con GM, INE indica IPC con GM ponderada, CNMV obliga fondos a publicar CAGR. CSIC en estadística matemática.

Tabla comparación medias

ValoresAritméticaGeométricaArmónica
4, 96,5006,0005,538
1, 10050,50010,0001,980
2, 85,0004,0003,200
2, 4, 8, 16, 3212,4008,0004,656

5 ejemplos numéricos verificados

  1. CAGR inversión 5 años: €10.000 → €15.000. CAGR = 8,45%/año.
  2. Rendimientos fondo pensiones: GM = 1,0552. Rendimiento medio compuesto = 5,52%/año.
  3. Crecimiento PIB España 5 años: GM ≈ 0,8%/año (datos INE).
  4. Media geométrica de ratios P/E: 15, 25, 50. GM = 26,57.
  5. Crecimiento poblacional células: CAGR = 28,9% por hora.

Límites del modelo

  • Solo valores positivos: GM requiere x_i > 0.
  • Sensibilidad a outliers pequeños: un valor cerca de cero domina la GM.
  • Interpretación contextual: GM solo para datos multiplicativos.

Errores comunes

  • Usar AM para rendimientos compuestos: sobreestima sistemáticamente.
  • Confundir GM con producto: GM es raíz n-ésima.
  • Incluir ceros o negativos: GM indefinida.
  • CAGR con 1 año: requiere n ≥ 2 períodos.
  • No distinguir factores y tasas: factor = 1 + tasa.
  • Aplicarla a cantidades aditivas: usar AM para sumas.

Aplicaciones prácticas numeradas

  1. Cálculo CAGR inversión bursátil: estándar para fondos según CNMV España.
  2. Crecimiento ingresos empresa: usado en business plans y valoraciones.
  3. Tasa crecimiento poblacional: INE calcula CAGR demográfico provincial.
  4. Comparación fondos pensiones españoles: CAGR 5/10 años publicados por DGSFP.
  5. Crecimiento microbiológico: laboratorios CSIC para virulencia.
  6. Índices de precios IPC: INE usa GM ponderada para agregados.
  7. Comparación estrategias inversión: backtesting con CAGR ajustado Sharpe.

Para soporte técnico: info@calcoi.com.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula de la media geométrica?

La media geométrica es GM = (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n), la raíz n-ésima del producto de n valores positivos. Para dos valores a, b: GM = √(ab). Equivalente con logaritmos: GM = exp((Σ ln(xᵢ)) / n). Para valores 4 y 9: GM = √36 = 6 (vs media aritmética 6,5). Codificada por Pitágoras y generalizada por Hardy-Littlewood-Pólya (1934).

¿Qué es el CAGR y cómo se calcula?

El CAGR (Compound Annual Growth Rate) es la tasa de crecimiento medio anual compuesto: CAGR = (V_final / V_inicial)^(1/n_años) - 1. Ejemplo: inversión €10.000 → €15.000 en 5 años: CAGR = 1,5^0,2 - 1 = 8,45% anual. Estándar para reportar rendimiento fondos según CNMV España, planes de negocio, valoraciones empresariales. Más preciso que la media aritmética.

GM, AM, HM: ¿cuál usar?

AM (aritmética) para cantidades aditivas (€, kg, personas). GM (geométrica) para tasas y factores multiplicativos (rendimientos, crecimiento). HM (armónica) para tasas con denominador constante (velocidades, frecuencias). Siempre HM ≤ GM ≤ AM (Cauchy 1821). Error común: usar AM para rendimientos compuestos, sobreestima sistemáticamente.

¿Cómo se calcula el rendimiento medio de un fondo?

Se aplica la GM a factores (1 + r_año) de cada año. Ejemplo: rendimientos +5%, +8%, -3%, +12%, +6% → factores 1,05, 1,08, 0,97, 1,12, 1,06. GM = (1,05×1,08×0,97×1,12×1,06)^0,2 = 1,0552. Rendimiento medio compuesto = 5,52%/año. Diferente de la aritmética (5,6%) ligeramente, pero significativo en horizontes largos.

¿Se puede calcular GM con valores negativos?

No, la media geométrica está definida solo para x_i > 0 (requiere raíz de producto). Para rendimientos negativos (-5% = pérdida), transformar en factores (1 + r) = 0,95 antes de aplicar GM. Solución correcta: GM de factores - 1 = rendimiento medio compuesto. Para datos con cero o negativos (P&L), usar media aritmética o transformaciones log-shift.

GM vs media aritmética: ¿diferencia práctica?

Para datos similares (tasas 5-10%) GM y AM son casi idénticos (<0,1% diferencia). Para datos dispersos (1 y 100) divergen drásticamente: AM = 50,5, GM = 10. En rendimientos financieros sobre 30 años con volatilidad típica 15%, AM sobreestima CAGR del 1-2% anual compuesto. Acumulado: diferencia 30-50% sobre el monto final.

¿Cómo se convierte GM en CAGR?

Si tienes n valores de crecimiento anual (factores 1+r): CAGR = GM(factores) - 1. Ejemplo: 5 años de crecimiento con factores GM = 1,0845 → CAGR = 8,45%. Si tienes V_inicial y V_final sobre n años: CAGR = (V_f/V_i)^(1/n) - 1, equivalente a la GM de n factores anuales. Estándar financiero para CNMV, Banco de España, prospectos ETF.

Fórmula

GM = \left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{1/n};\;CAGR = \left(\frac{V_f}{V_i}\right)^{1/n}-1

Comentarios (0)

Sin comentarios aún. ¡Sé el primero!