Calculadora MCD y mcm: algoritmo de Euclides, coprimos, factorización

Calcula MCD y mcm de dos o más enteros con algoritmo de Euclides extendido, identidad de Bézout, factorización prima y prueba de coprimalidad. Paso a paso.

Parámetros de cálculo
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Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

El máximo común divisor MCD(a, b) de dos enteros no ambos nulos es el mayor entero positivo que divide a ambos sin resto. El mínimo común múltiplo mcm(a, b) es el menor entero positivo que es múltiplo de ambos. Por convención MCD(0, 0) = 0 y mcm(0, x) = 0. Para cualesquiera enteros a, b vale la identidad fundamental: MCD(a, b) · mcm(a, b) = |a · b|.

Algoritmo de Euclides

El algoritmo de Euclides, descrito en los Elementos (Libro VII, ca. 300 a.C.), calcula MCD(a, b) mediante divisiones sucesivas: MCD(a, b) = MCD(b, a mod b), hasta MCD(x, 0) = |x|. Ejemplo: MCD(252, 105) = MCD(105, 42) = MCD(42, 21) = MCD(21, 0) = 21. Termina en O(log(min(a, b))) pasos y su peor caso está ligado a la sucesión de Fibonacci.

Algoritmo extendido e identidad de Bézout

El algoritmo de Euclides extendido produce no solo MCD(a, b) = d sino también enteros s, t con d = a · s + b · t (identidad de Bézout). Esenciales en criptografía (RSA, inverso modular) y para resolver ecuaciones diofánticas lineales ax + by = c (tiene soluciones enteras si y solo si MCD(a, b) | c).

Fórmula del mcm

El mcm se calcula eficientemente desde el MCD: mcm(a, b) = |a · b| / MCD(a, b). Ejemplo: mcm(12, 18) = 216 / 6 = 36. Para tres o más números se aplica recursivamente.

Factorización en primos

Si a = ∏ pᵢ^αᵢ y b = ∏ pᵢ^βᵢ, entonces MCD = ∏ pᵢ^min(αᵢ, βᵢ) y mcm = ∏ pᵢ^max(αᵢ, βᵢ). Intuitivo pero ineficiente para números grandes: la factorización es un problema computacionalmente difícil, base de la seguridad de RSA.

Coprimos

Dos enteros son coprimos si MCD = 1. Necesario para el teorema chino del resto y para que exista el inverso modular a⁻¹ mod n. Ejemplos: (8, 15), (9, 28), (13, 100).

Propiedades del MCD

  • Conmutativa: MCD(a, b) = MCD(b, a).
  • Asociativa: MCD(MCD(a, b), c) = MCD(a, MCD(b, c)).
  • MCD(a, 0) = |a|; MCD(a, 1) = 1.
  • Distributiva: MCD(ka, kb) = |k| · MCD(a, b).
  • Fracción p/q en mínima expresión ⇔ MCD(p, q) = 1.

Cómo usar

Introduce dos o más enteros separados por comas (ej. 12, 18, 24). Obtendrás MCD, mcm, pasos del algoritmo de Euclides, coeficientes de Bézout s, t (dos entradas), factorización en primos y prueba de coprimalidad.

Aplicaciones

Simplificación de fracciones, sincronización de ciclos, criptografía, programación de procesos, teoría musical. En computación el MCD aparece en permutaciones cíclicas mínimas y generadores pseudoaleatorios.

Un algoritmo de 2300 años

El algoritmo de Euclides aparece en el libro VII de los Elementos (hacia el 300 a.C.) y se considera el algoritmo no trivial más antiguo aún en uso. Su eficiencia es notable: el número de pasos nunca supera cinco veces el número de cifras del número menor (teorema de Lamé, 1844), y el peor caso ocurre con dos números de Fibonacci consecutivos. En la tecnología actual, la criptografía RSA elige exponentes coprimos con la función de Euler y calcula inversos con el Euclides extendido, mientras que los engranajes usan dientes coprimos para repartir el desgaste.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

¿Cómo funciona el algoritmo de Euclides?

Se divide el número mayor entre el menor y se sustituye el mayor por el resto, repitiendo hasta que el resto sea cero: el último divisor no nulo es el MCD. Para 48 y 18: 48 = 18·2 + 12, luego 18 = 12·1 + 6, y por último 12 = 6·2 + 0, así que MCD = 6. La calculadora muestra todos los pasos.

¿Qué relación hay entre MCD y mcm?

Para dos números vale la identidad MCD(a,b) × mcm(a,b) = a × b. Con 48 y 18: el MCD es 6, así que mcm = 48·18/6 = 144. La calculadora usa exactamente esta identidad, que solo vale para parejas: con tres o más números el resultado se obtiene iterando pareja a pareja sobre toda la lista.

¿Qué significa que dos números sean coprimos?

Coprimos (o primos entre sí) significa MCD = 1: no comparten ningún factor primo, como 8 y 15. No hace falta que sean primos: 8 = 2³ y 15 = 3·5 son ambos compuestos y aun así coprimos. La coprimalidad sustenta la función de Euler y la criptografía RSA que protege las comunicaciones en línea.

¿Para qué sirve la identidad de Bézout?

Garantiza que existen enteros x e y tales que ax + by = MCD(a,b): para 48 y 18, 6 = 48·(−1) + 18·3. La calculadora los obtiene con el algoritmo de Euclides extendido. Es la herramienta para calcular inversos modulares, corazón de la aritmética modular y de la criptografía de clave pública.

¿Cómo se calculan MCD y mcm por factorización en primos?

Se factorizan los números: el MCD toma los factores comunes con el exponente mínimo, el mcm todos los factores con el exponente máximo. Para 48 = 2⁴·3 y 18 = 2·3²: MCD = 2·3 = 6 y mcm = 2⁴·3² = 144. El método es didáctico pero lento con números grandes, donde Euclides sigue siendo imbatible.

¿Para qué sirve el mcm en la práctica?

Para sumar fracciones con el mínimo denominador común, sincronizar eventos periódicos (dos autobuses que pasan cada 12 y 18 minutos coinciden cada mcm = 36 minutos) y diseñar engranajes y ciclos de mantenimiento. El MCD, en cambio, simplifica fracciones y reparte cantidades en las mayores partes iguales.

¿La calculadora acepta más de dos números?

Sí: introduce cuantos números quieras, separados por comas, espacios o punto y coma. MCD y mcm se calculan iterativamente sobre toda la lista; los pasos de Euclides y la identidad de Bézout se muestran para la primera pareja. Los signos negativos se ignoran tomando el valor absoluto de cada número.

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