Sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci es una de las secuencias matemáticas más famosas, definida recursivamente:

F(0) = 0, F(1) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2) para n ≥ 2

Primeros 20 términos: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181.

Publicada por Leonardo Pisano (Fibonacci) en Liber Abaci (1202), que también introdujo los numerales arábigos en Europa.

La proporción áurea φ

El cociente de términos consecutivos converge a la proporción áurea:

φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887...

Propiedades:

• φ² = φ + 1 (única solución positiva de x² = x + 1)
• 1/φ = φ − 1 ≈ 0,618
• φ es irracional, como π y e
• "El más irracional de los números"

Fórmula de Binet

Forma cerrada para el enésimo término (Jacques Binet, 1843):

F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5

donde ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0,618.

Para n grande: F(n) ≈ φⁿ / √5.

Identidades notables

• Cassini: F(n-1)·F(n+1) − F(n)² = (−1)ⁿ
• Catalan: F(n)² − F(n-r)·F(n+r) = (−1)^n-r·F(r)²
• Suma: F(0) + F(1) + ... + F(n) = F(n+2) − 1
• Divisibilidad: F(n) divide F(n·k)
• Coprimos: gcd(F(m), F(n)) = F(gcd(m, n))

Números de Lucas

L(0) = 2, L(1) = 1, L(n) = L(n-1) + L(n-2)

Primeros: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843

Relaciones: L(n) = F(n-1) + F(n+1); F(n)·L(n) = F(2n).

Fibonacci en la naturaleza

Espirales vegetales (filotaxia)

Hojas en tallos, pétalos, espirales de girasol siguen ángulos basados en ángulo áureo 137,5° = 360°·(2−φ). Maximiza exposición luz y agua.

Semillas de girasol

Dispuestas en dos series espirales: 34 en un sentido y 55 en otro (ambos Fibonacci).

Piña

Típicamente 8 y 13 espirales.

Nautilus

Espiral logarítmica áurea aproximada.

Ananás

8, 13 y 21 espirales.

Árbol genealógico zánganos

Zángano tiene solo madre. Árbol ancestros: 1 (madre), 2, 3, 5, 8, 13... Fibonacci!

Fibonacci en arte y arquitectura

• Partenón Atenas (~447 a.C.): proporciones áureas
• Pirámide Guiza (~2560 a.C.): algunas proporciones aproximan φ
• Leonardo da Vinci: Hombre de Vitruvio, Gioconda, Última Cena
• Le Corbusier: sistema Modulor (1948)
• Salvador Dalí: Última Cena (1955)

Fibonacci en finanzas

Analistas técnicos usan retrocesos de Fibonacci: niveles 23,6%, 38,2%, 50%, 61,8%, 78,6%.

Base matemática: 0,618 y 0,382 son 1/φ y 1/φ².

Nota: correlación con mercados debatida científicamente.

Complejidad algorítmica

• Recursiva ingenua: O(φⁿ) exponencial, inutilizable n > 40
• Iterativa: O(n)
• Matricial con potencia rápida: O(log n)
• Binet: O(1) pero errores flotantes para n grande

Fibonacci en informática

• Búsqueda Fibonacci: alternativa a búsqueda binaria
• Heap Fibonacci: estructura datos Dijkstra O((V+E)log V)
• Hashing Fibonacci: distribución uniforme
• PRNG Lagged Fibonacci
• Compresión datos

Triángulo Pascal y Fibonacci

Sumando diagonales del Triángulo de Pascal se obtienen números Fibonacci.

Generalizaciones

• Tribonacci: T(n) = T(n-1) + T(n-2) + T(n-3). Razón ≈ 1,839
• k-Nacci: generalización a k términos previos

φ vs π y e

Todas irracionales y trascendentes.

Historia

• ~200 a.C. Pingala (India): primera aparición
• ~1202 Fibonacci: Liber Abaci, problema conejos
• ~1611 Kepler: convergencia a φ, conexión botánica
• ~1718 de Moivre: primera forma cerrada
• ~1843 Jacques Binet: nombra fórmula cerrada
• ~1963: Fibonacci Quarterly fundada

Problema de los conejos

Liber Abaci 1202: "Un hombre pone una pareja de conejos cercada. ¿Cuántas parejas tras un año si cada mes una pareja produce otra que se vuelve productiva al segundo mes?"

Mes 1: 1, Mes 2: 1, Mes 3: 2, ..., Mes 12: 144.

Excel / Sheets / Python

def fib(n):
    a, b = 0, 1
    for _ in range(n):
        a, b = b, a + b
    return a

Errores comunes

• Overflow: F(79) supera int32
• Recursión ingenua O(φⁿ)
• Confusión índices: algunas definiciones F(1)=F(2)=1
• Precisión Binet para n grande

FAQ

¿Por qué aparece en naturaleza?

Proporción áurea minimiza solapamiento y maximiza eficiencia.

¿Está realmente en todas partes?

Algunos casos documentados verificables; muchas atribuciones exageradas.

¿F(1000)?

Iterar O(n) con BigInt. Python maneja nativamente: F(1000) tiene 209 cifras.

¿Otras razones bellas?

Número plástico ψ ≈ 1,3247. Razón de plata 1+√2 ≈ 2,414.

¿Aplicaciones modernas?

Criptografía, computación gráfica, ML.

Espiral de Fibonacci y espiral áurea

La espiral de Fibonacci se construye con cuadrados de lado F(n) dispuestos en forma específica. Conectando arcos en esos cuadrados se obtiene una espiral muy similar a la áurea logarítmica, aunque no idéntica.

La espiral áurea verdadera es una espiral logarítmica con factor de crecimiento φ por cada cuarto de vuelta (90°). Propiedades únicas:

• Cada nueva giro es φ = 1,618x mayor
• No tiene centro (continúa infinitamente hacia dentro)
• Auto-similar a todas las escalas (fractal)
• Encontrada en galaxias espirales, huracanes, orejas de caracoles

Rectángulo áureo y diseño

Un rectángulo áureo tiene proporciones 1:φ. Propiedad fundamental: eliminando un cuadrado de lado igual al lado menor, se obtiene un rectángulo áureo más pequeño. Proceso repetible infinitamente.

En diseño y fotografía:

• Formato fotográfico 35mm: 3:2 ≈ 1,5 (cercano a φ)
• Tarjeta crédito: 85,6 × 53,98 mm, razón ≈ 1,586
• Paginación libros clásicos: 2:3, 3:5 o directamente proporciones áureas
• Logos famosos: Apple, Twitter (antes X), BP, Pepsi usan proporciones áureas

Secuencias similares no-Fibonacci

Existen muchas sucesiones recursivas similares:

• Perrin: P(n) = P(n-2) + P(n-3), con P(0)=3, P(1)=0, P(2)=2
• Padovan: P(n) = P(n-2) + P(n-3) con otros seeds — usada por arquitecto Hans van der Laan para el "número plástico"
• Narayana's cows: N(n) = N(n-1) + N(n-3) — problema clásico indio
• Jacobsthal: J(n) = J(n-1) + 2·J(n-2)

Fibonacci en música

Varias composiciones explotan Fibonacci:

• Béla Bartók: Música para cuerdas, percusión y celesta (1936) — estructura temporal basada en Fibonacci
• Erik Satie: Sonneries de la Rose+Croix (1892) — secciones proporcionadas áureamente
• Debussy: L'isle joyeuse (1904)
• Piano: octava tiene 8 teclas blancas, 5 negras, total 13 (todos Fibonacci)

Actualizado a julio de 2026