Calculadora Decaimiento Exponencial: vida media, constante λ

Calcula decaimiento exponencial N(t) = N₀·e^(-λt), vida media T = ln2/λ, tiempo medio τ = 1/λ y fracción restante. Cuatro modos para radiactividad y cinética.

Parámetros de cálculo
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Decaimiento exponencial

El decaimiento exponencial es un proceso en el que una magnitud disminuye en el tiempo a una tasa proporcional a su valor actual. La ecuación es dN/dt = −λ·N, con solución N(t) = N₀ · e^(−λt), donde N₀ es el valor inicial y λ > 0 la constante de decaimiento. Describe: decaimiento radiactivo, descarga de condensador por resistencia, enfriamiento (ley de Newton), eliminación de fármacos, atenuación de ondas.

Vida media T_½

Tiempo tras el cual la cantidad se reduce a la mitad. De N(T_½) = N₀/2 se obtiene T_½ = ln(2)/λ ≈ 0,6931/λ. Ejemplos: U-238 T_½ = 4,468·10⁹ años; C-14 T_½ = 5 730 años (datación); I-131 = 8,02 días; Pu-239 = 24 110 años.

Tiempo medio τ

τ = 1/λ, tiempo para caer a N₀/e ≈ 36,8%. τ = T_½/ln(2) ≈ 1,4427·T_½. Es también la vida esperada de una partícula individual.

Forma en base 2

N(t) = N₀·(1/2)^(t/T_½). Tras n vidas medias queda N₀/2^n. 1: 50%; 5: 3,125%; 10: 0,098%.

Actividad radiactiva

A(t) = λ·N(t) = A₀·e^(−λt). Unidad SI: becquerel (Bq). Unidad histórica: curie (3,7·10¹⁰ Bq). 1 g de Ra-226 tiene ≈1 Ci.

Datación por ¹⁴C

Mide el cociente ¹⁴C/¹²C residual; edad t = T_½·log₂(R₀/R). Fiable hasta ~60 000 años. Isótopos alternativos: K-Ar, U-Pb.

Farmacocinética

Muchos fármacos siguen cinética de primer orden: C(t) = C₀·e^(−kt). Tras 4-5 vidas medias se alcanza el estado estacionario (97%). Ejemplos: cafeína T_½ ≈ 5 h, warfarina ≈ 36 h.

Cómo usar

Modos: desde vida media, desde constante λ, encontrar tiempo, encontrar vida media. Devuelve fracción restante, τ y número de vidas medias transcurridas.

Decaimiento vs. crecimiento

Misma EDO con signo opuesto: crecimiento k > 0; tiempo de duplicación T_d = ln(2)/k. Inflación 3% anual → T_d ≈ 23 años; crecimiento bacteriano con T_d = 20 min → 1 célula se vuelven 10⁹ en 10 horas.

Propiedades clave

  • Sin memoria: la probabilidad de decaimiento por unidad de tiempo es λ constante, independientemente del tiempo ya transcurrido. Los átomos no "envejecen".
  • Dimensión de λ: inversa del tiempo. Si t se mide en segundos, λ está en s⁻¹.
  • Escala logarítmica: log(N) es lineal en t, lo que permite linealizar gráficamente y estimar λ por regresión.
  • Ley de Newton de enfriamiento: T(t) − T_amb = (T₀ − T_amb) · e^(−kt), formalmente idéntica a la del decaimiento.

Descarga RC

En un circuito RC la tensión del condensador decae como V(t) = V₀ · e^(−t/(RC)), con τ = R·C la constante de tiempo. Tras 1τ la tensión cae al 36,8%; tras 5τ prácticamente a cero (< 1%). Diseño típico de filtros paso-bajo, temporizadores, debouncing.

Propiedades clave

  • Sin memoria: probabilidad de decaimiento por unidad de tiempo λ constante; los átomos no envejecen.
  • Dimensión de λ: inversa del tiempo (s⁻¹, año⁻¹, etc.).
  • Escala logarítmica: log(N) es lineal en t, lo que permite linealizar y estimar λ por regresión.
  • Estadística de Poisson: el número de decaimientos sigue una distribución de Poisson; fluctuaciones √N.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

¿Qué es el decaimiento exponencial?

Es el proceso en el que una magnitud N(t) disminuye en el tiempo a un ritmo proporcional a su valor actual: dN/dt = −λN. La solución es N(t) = N₀·e^(−λt). Aparece en radiactividad, descarga RC de un condensador, ley de Newton del enfriamiento, eliminación de fármacos, atenuación de ondas en la materia — donde un cambio fraccional fijo por unidad de tiempo gobierna la dinámica.

¿Cómo se calcula la vida media T_½?

De N(T_½) = N₀/2: T_½ = ln(2)/λ ≈ 0,6931/λ. Equivalentemente λ = ln(2)/T_½. Ejemplos: Carbono-14 tiene T_½ = 5 730 años → λ ≈ 1,21·10⁻⁴ años⁻¹. Yodo-131 (medicina nuclear): T_½ = 8,02 días → λ ≈ 0,0864 días⁻¹. Las unidades de tiempo deben ser coherentes entre T_½ y λ.

¿Qué es el tiempo medio τ?

El tiempo medio τ = 1/λ es el tiempo para que la cantidad caiga a N₀/e ≈ 36,8 %. Relacionado con la vida media por τ = T_½/ln(2) ≈ 1,4427·T_½. Es la expectativa estadística del tiempo de decaimiento de una sola partícula. La forma alternativa N(t) = N₀·e^(−t/τ) es común en farmacocinética, física de partículas y electrónica (constante de tiempo RC).

¿Tras cuántas vidas medias se considera agotado el sistema?

Tras 5 vidas medias solo queda el 3,125 % (1/2⁵); tras 7 el 1 %; tras 10 el 0,098 % (1/1024). En aplicaciones médicas (p.ej. trazador I-131) se considera 'agotado' tras ~10 vidas medias. En protección radiológica se usa la regla de las 10 vidas medias para definir tiempos seguros de decaimiento antes de la eliminación de material radiactivo.

¿Qué significa que el decaimiento sea 'sin memoria'?

Significa que la probabilidad de decaimiento de un átomo en el intervalo siguiente (t, t+dt) es λ·dt, independientemente de cuánto tiempo lleve existiendo. Los átomos radiactivos no 'envejecen'. P(decaimiento en t+s | no decaído en t) = P(decaimiento en s). Esta propiedad sin memoria caracteriza la distribución exponencial y es la base de la propia ley.

¿Cómo funciona la datación por Carbono-14?

El cociente ¹⁴C/¹²C en organismos vivos está en equilibrio con la atmósfera por intercambio de carbono. A la muerte, ya no se incorpora ¹⁴C y el cociente decae con T_½ = 5 730 años. Midiendo el cociente residual R vs el inicial R₀: edad t = T_½·log₂(R₀/R) = (1/λ)·ln(R₀/R). Fiable hasta ~60 000 años (10 vidas medias); más allá, isótopos K-Ar o U-Pb.

¿Qué relación hay entre T_½ y la actividad A?

Para una muestra radiactiva, la actividad A = λ·N = (ln 2/T_½)·N es el número de decaimientos por segundo. Unidad SI: becquerel (1 Bq = 1 decaimiento/s); unidad histórica curie (1 Ci = 3,7·10¹⁰ Bq) corresponde a la actividad de 1 g de Ra-226. A igual N, isótopos de T_½ corta tienen mayor actividad: el I-131 médico tiene actividad específica mucho mayor que el U-238 a igual masa.

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