Fracciones continuas: representación perfecta de números

Forma a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + 1/(a₃ + ...))), abreviada [a₀; a₁, a₂, ...]. Sistematizadas por Euler (1737) y Lagrange. Racionales: finitas. Irracionales cuadráticos: periódicas (Lagrange). Otros irracionales: infinitas no periódicas (π, e).

Algoritmo de expansión

Dado x: a₀ = ⌊x⌋; r = x − a₀; si r = 0 stop; si no, x ← 1/r. Para racionales p/q es el algoritmo de Euclides. Ejemplo 355/113 = [3; 7, 16], aproximación china de π.

Convergentes

p_n/q_n truncando después de n términos. Recursión: p_n = a_n·p_{n−1} + p_{n−2}, q_n = a_n·q_{n−1} + q_{n−2}. Error: |x − p_n/q_n| < 1/(q_n·q_{n+1}). π: 3, 22/7, 333/106, 355/113 (10⁻⁷).

Irracionales cuadráticos (Lagrange 1770)

√n (n no cuadrado) es periódica. √2=[1;2̄], √3=[1;1̄,2], √5=[2;4̄]. Periodo termina con 2·a₀. Sección áurea φ=[1̄], la más lentamente convergente.

Números notables

φ=[1̄], convergentes = Fibonacci. e=[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, ...]. π sin patrón. Constante de Khintchine K≈2,685: media geométrica de a_i para casi todos los irracionales.

Aplicaciones

Calendario (ciclo metónico); música (temperamentos); ecuación de Pell x²−ny²=1; criptografía (ataque de Wiener en RSA); compresión; teoría musical.

Cómo usar

Modo: Racional (p/q → [a_i]), Evaluación (CSV → p/q), Raíz cuadrada (n no cuadrado → √n periódica), Convergentes (π, e, φ → sucesivos).

Ejemplo numérico

355/113 → algoritmo de Euclides: 355 = 3·113 + 16 (a₀=3); 113 = 7·16 + 1 (a₁=7); 16 = 16·1 + 0 (a₂=16). Por tanto 355/113 = [3; 7, 16]. Convergentes: 3, 22/7, 355/113. Para π: [3; 7, 15, 1, 292,...] con convergentes 3, 22/7, 333/106, 355/113 (error 10⁻⁷).

Sección áurea y Fibonacci

φ = [1̄] con convergentes 1, 2, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13... (ratios Fibonacci), convergencia más lenta posible. Por eso φ es el número peor aproximable: |φ − p/q| ≥ 1/(√5·q²), teorema de Hurwitz.

Una historia de siglos, de la India a Europa

Las fracciones continuas ya aparecen en el algoritmo de Euclides (siglo III a.C.) y en la obra de matemáticos indios como Aryabhata, pero su teoría sistemática se desarrolló en los siglos XVII y XVIII por Pietro Cataldi en Bolonia, John Wallis en Inglaterra y sobre todo Leonhard Euler y Joseph-Louis Lagrange. Euler demostró que el número e tiene la fracción continua [2; 1, 2, 1, 1, 4, …] con un patrón regular, y Lagrange probó que los irracionales cuadráticos tienen expansión periódica. Las mejores aproximaciones racionales de los convergentes se usan desde el calendario gregoriano hasta las relaciones de engranajes de precisión.

El número áureo, el más irracional

La razón áurea φ = (1+√5)/2 tiene la fracción continua más simple posible, [1; 1, 1, 1, …], compuesta solo por unos. Precisamente por eso es el número “más irracional”: sus convergentes, que son los cocientes de números de Fibonacci consecutivos (3/2, 5/3, 8/5, 13/8…), convergen a φ lo más lentamente posible. Esta propiedad explica por qué muchas plantas disponen sus hojas y semillas según el ángulo áureo, para optimizar la exposición a la luz evitando solapamientos periódicos.

Actualizado a julio de 2026