Wie berechnet man Spannung Dehnung und Elastizitätsmodul

Berechne Spannung (sigma=F/A), Dehnung (epsilon=dL/L) und Elastizitätsmodul E aus Hooke sigma=E*epsilon. Sicherheitsfaktor Stähle S235/S275/S355 nach DIN EN 1993, Eurocode 3.

Berechnungsparameter
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Wie berechnet man Spannung, Dehnung und Elastizitätsmodul: das Hookesche Gesetz (1660) sigma = E * epsilon verbindet Spannung sigma (Pa oder MPa = N/mm^2) und dimensionslose Dehnung epsilon (dL/L) durch den Elastizitätsmodul E (GPa). Einaxiale Spannung: sigma = F/A. Dehnung: epsilon = (L_f - L_0)/L_0. Für Baustahl S275 (DIN EN 10025-2): E = 210 GPa, fy = 275 MPa, Bruchdehnung ~22%. Sicherheitsfaktor FS = f_y / sigma_Betrieb: für Bemessung FS ≥ 1,15-1,5 nach Eurocode 3 (DIN EN 1993-1-1). Gilt nur im elastischen Bereich. Grundlegend für Maschinenbau, Bauingenieurwesen, Biomedizin.

Werkstoffmechanik-Formeln

Normalspannung: sigma = F/A. Pa (N/m^2). Technik: MPa (N/mm^2). Rundstab d: A = pi*d^2/4.

Dehnung: epsilon = dL/L_0, dimensionslos. Mikrostrain (µε = 10^-6) für Dehnungsmessstreifen. Stähle 0,1-0,3%, Polymere 1-5%, Gummi 100%.

Elastizitätsmodul E: Steigung sigma-epsilon-Kurve. Stahl 210 GPa, Aluminium 70 GPa, Beton 30 GPa. DIN EN ISO 6892-1 Zugversuch.

Poissonzahl nu: nu = -epsilon_lat / epsilon_ax. Stahl 0,30; Aluminium 0,33; Beton 0,18-0,20. G = E/(2(1+nu)).

Sicherheitsfaktor FS: FS = sigma_zulässig / sigma_Betrieb. Eurocode 3 LRFD gamma_M0=1,05, gamma_F=1,35-1,5. Gebäude FS 1,5-2,5; Luftfahrt 1,5.

Geschichte und Kontext

Robert Hooke veröffentlichte das Gesetz "Ut tensio sic vis" 1660, enthüllt 1678. Thomas Young (1807) definierte Elastizitätsmodul. Cauchy (1821) 3D-Tensor. Otto Mohr (1882) Mohrscher Kreis. Tresca (1864) und von Mises (1913) Plastifizierung. 20. Jahrhundert FEM (Turner 1956 Boeing). Heute globale Strukturindustrie > 12 Bio. USD: Baugewerbe (DIN EN 1990-1999, BauO Bayern, IBC USA), Luftfahrt (EASA CS-25 LBA), Automobil (UN R29 Kabine, VW, BMW, Mercedes), Biomedizin (DIN EN ISO 7206 Hüfte, MDR EU 2017/745 BfArM). DIN EN 10025-2 Stähle S235/S275/S355/S420/S460/S690. ThyssenKrupp, Salzgitter, ArcelorMittal Hersteller. Weltweite Stahlproduktion 1,9 Mrd. Tonnen/Jahr (worldsteel 2024). DIBt Deutsches Institut für Bautechnik allgemein bauaufsichtliche Zulassungen.

Tabelle E-Module und charakteristische Spannungen

  • Stahl S235: E=210 GPa, fy=235 MPa, fu=360 MPa
  • Stahl S275: E=210 GPa, fy=275 MPa, fu=430 MPa
  • Stahl S355: E=210 GPa, fy=355 MPa, fu=510 MPa
  • Stahl S460: E=210 GPa, fy=460 MPa
  • Edelstahl AISI 304: E=193 GPa, fy=205 MPa
  • Aluminium 6061-T6: E=69 GPa, fy=276 MPa
  • Aluminium 7075-T6: E=72 GPa, fy=503 MPa (Luftfahrt)
  • Titan Ti-6Al-4V: E=114 GPa, fy=830 MPa (Biomedizin)
  • Beton C25/30: E=31 GPa, fck=25 MPa (DIN EN 1992)
  • Holz C24: E=11 GPa, fm,k=24 MPa (DIN EN 338)
  • CFK Kohlefaser: E=70-700 GPa, fu=600-7000 MPa

Detaillierte numerische Beispiele

Beispiel 1 - Kran-Stahlseil. Durchmesser 20 mm, F=50.000 N. A=314 mm^2. Sigma=159 MPa. S355 FS=2,23. DIN EN 12385.

Beispiel 2 - Stahlbetonsäule C25/30 DIN EN 1992. Querschnitt 30x30 cm. F=800 kN. Sigma=8,89 MPa. fcd=14,2 MPa, FS=1,60. Eurocode 2 DIN EN 1992-1-1.

Beispiel 3 - Stahlzugstab S275 Eurocode 3. phi 30 mm, F=200 kN. Sigma=283 MPa, fyd=262 MPa, FS=0,93 NICHT erfüllt. Vergrößern phi 35: FS=1,26 OK. DIN EN 1993-1-1 §6.2.3.

Beispiel 4 - Aluminium Luftfahrt 6061-T6. EASA CS-23 Zertifizierung. 12x12 mm: sigma=174 MPa, FS=1,59. E=69 GPa, epsilon=2,52*10^-3.

Beispiel 5 - Hüftprothese Ti-6Al-4V. phi 12 mm. F=2058 N (3 BW). Sigma=18,2 MPa. FS=45 statisch, FS_Ermüdung=22,8 (10^7 Zyklen). DIN EN ISO 7206, MDR EU 2017/745 Klasse III BfArM Inverkehrbringen.

Grenzen

  1. Hooke nur elastischer Bereich.
  2. Plastifizierung keine Erholung.
  3. Verfestigung Strain Hardening.
  4. Einschnürung lokal sigma_u.
  5. Anisotropie Holz, Verbundwerkstoffe.
  6. Temperatur E Stahl -10-20% bei 400°C.
  7. Ermüdung Wöhler-Kurve.
  8. Kriechen hohe T.
  9. Sprödbruch tiefe T (-20°C) Charpy.
  10. Größeneffekte Hall-Petch Korngrenze.

Häufige Fehler

  1. Spannung mit Kraft verwechseln.
  2. Gesamt- vs Relativdehnung.
  3. Hooke jenseits Streckgrenze.
  4. Poisson 2D/3D ignorieren.
  5. E mit G verwechseln.
  6. Brutto- vs Nettoquerschnitt Bohrungen.
  7. Teilsicherheitsbeiwerte vergessen.
  8. Ermüdung Mittel- vs Amplitudenspannung.
  9. Knicken Euler vs Hooke.
  10. Schweißeigenspannungen WEZ vernachlässigen.

Praktische Anwendungen

  1. Bauwesen: BauO, DIN EN 1990-1999, Eurocode 3 Stahl, 2 Beton.
  2. Luft-/Raumfahrt: EASA CS-25, LBA Deutschland.
  3. Automobil: UN R29, VW, BMW, Mercedes-Benz.
  4. Biomedizin: DIN EN ISO 7206, MDR EU, BfArM.
  5. Maschinenbau: Shigley, ASME BPVC.
  6. Energie: Windenergieanlagen IEC 61400-1, Siemens Gamesa.
  7. Schiffbau: DNV Germanischer Lloyd.
  8. Geotechnik: Anker, Mikropfähle DIN EN.
  9. Erdöl: Pipelines ASME B31.4.
  10. Eisenbahn: Deutsche Bahn DB Netz UIC-60 Schienen.

Unterstützung

Fragen: info@calcoi.com. Professionelle Anwendungen: Beer-Johnston-DeWolf "Mechanics of Materials" 8. Aufl. (McGraw-Hill 2019), Hibbeler 10. Aufl. (Pearson 2017), Eurocode 3 DIN EN 1993-1-1, DIN EN 10025-2.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Unterschied zwischen Spannung und Druck?

Gleiche Einheit (Pa = N/m^2) aber unterschiedliche Konzepte. Druck (Flüssigkeiten) ist isotrop: wirkt gleich in alle Richtungen an einem Punkt. Spannung (Festkörper) ist tensoriell: hat 3 Normal- und 6 Tangentialkomponenten, beschreibt Verformungszustand richtungsabhängig. Bei einfacher Zugbelastung sigma_x verschieden von sigma_y verschieden von sigma_z. Mohr (1882) führte Kreis zur Visualisierung Hauptkomponenten ein. Cauchy (1821) formalisierte 3x3 symmetrischen Spannungstensor.

Was bedeuten elastischer und plastischer Bereich?

Elastisch: reversible Verformung, beim Entlasten kehrt Material zur ursprünglichen Länge L_0 zurück. Hooke gilt, sigma proportional epsilon. Plastisch: jenseits Streckgrenze sigma_y, dauerhafte nicht erholbare Verformung (Kaltverfestigung). Sigma-epsilon-Kurve nichtlinear, Verfestigung lässt sigma bis Zugfestigkeit sigma_u steigen. Einschnürung nach sigma_u vor Bruch. DIN EN ISO 6892-1 standardisierter Zugversuch an zylindrischer Probe.

Welcher E-Modul für verschiedene Stähle?

Niedrigkohlenstoff- oder legierte Stähle (S235 bis S690): E = 210 GPa, im Wesentlichen konstant. Wesentliche Unterschiede in fy (Streckgrenze) und fu (Zugfestigkeit). Edelstahl 304/316: E reduziert auf 193 GPa für Austenite. Gusseisen: E = 100-150 GPa (niedriger, spröde). Aluminiumlegierungen E = 69-72 GPa (ein Drittel von Stahl): für gleiche Steifigkeit größerer Querschnitt erforderlich. DIN EN 10025-2 Baustähle, DIN EN 10088 Edelstahl.

Wie misst man den E-Modul?

Standardisierter Zugversuch DIN EN ISO 6892-1 (Metalle) oder ASTM E8. Zylindrische Probe L_0 Standard 50 mm oder 200 mm, Durchmesser 12,5 mm. Universalprüfmaschine (Instron, Zwick-Roell) zieht mit kontrollierter Geschwindigkeit bis Bruch. Elektronisches Extensometer misst epsilon Präzision 0,5%. Plot sigma vs epsilon: Steigung des anfänglichen linearen Bereichs = E. Für kleine Proben (Biomaterialien) Nanoindentation Oliver-Pharr. DIN EN 6507 Vickers-Mikrohärte korreliert mit fy.

Sicherheitsfaktor vs LRFD-Lastfaktor?

Klassischer FS (Working Stress Design): sigma_Bemessung = sigma_y / FS, mit FS = 1,5-2,5 global. LRFD (Eurocode 3, DIN EN 1990-1999): separate Teilsicherheitsbeiwerte. Widerstand: f_yd = f_yk / gamma_M (gamma_M0 = 1,05 Stahl, 1,5 Beton). Lasten: gamma_G = 1,35 ständige, gamma_Q = 1,5 veränderliche. SLU-Kombination: sum gamma_F*F_k. Zielausfallwahrscheinlichkeit 10^-7/Jahr wichtige Strukturen.

Temperatureinflüsse auf Parameter?

E (E-Modul) sinkt mit T: für Stahl S275 bei 400°C E = 200 GPa (-5%), bei 600°C 100 GPa (-50%). Streckgrenze fy sinkt drastisch: bei 400°C 80% Nominal, bei 600°C 50%, bei 800°C 10%. Brandschutz Stahlkonstruktionen: Eurocode 3 DIN EN 1993-1-2 mit Reduktionsfaktor k_y,theta. Stahlbeton verliert Stabilität bei 1100°C (Entcarbonatisierung). Für Kryotechnik (LNG -160°C): Edelstahl 304 behält Duktilität; Kohlenstoffstähle werden spröde.

Was ist das von-Mises-Kriterium?

Äquivalentes einaxiales Plastifizierungskriterium im 3D-Zustand (Richard von Mises 1913). sigma_VM = sqrt(0,5*((sigma_1-sigma_2)^2 + (sigma_2-sigma_3)^2 + (sigma_3-sigma_1)^2)). Plastifizierung wenn sigma_VM = sigma_y (einaxiale Streckgrenze). Alternative Tresca (max Schub): sigma_T = max(|sigma_i - sigma_j|), konservativer. Von Mises bevorzugt für duktile Metalle (FEM ANSYS, Abaqus Standard). Tresca für spröde (Beton, Gusseisen). DIN EN 1993-1-1 verwendet von Mises-Hencky.

Formel

sigma = F / A (Pa)
epsilon = dL / L_0 (adimensionale)
sigma = E * epsilon
E = sigma / epsilon (GPa)
G = E / (2*(1+nu))
K = E / (3*(1-2*nu))
nu = -epsilon_lat / epsilon_ax
sigma_VM = sqrt(0.5 * ((s1-s2)^2 + (s2-s3)^2 + (s3-s1)^2))
Hooke 1660; Young 1807; Cauchy 1821; von Mises 1913; NTC 2018; Eurocodice 3 EN 1993-1-1

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